Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo. Verifique o resultado, calculando ambas as integrais
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas: primeiro a gente descreve a região de integração no plano
, depois troca os limites de
e
e, por fim, calcula ambas as integrais para conferir que dão o mesmo valor.
Passo 2
A região
é
Em
, o menor valor de
ocorre em
, ou seja
, e o maior em
, ou seja
. Para um
fixo, a condição
equivale a
, além de
. Logo, podemos descrever
Passo 3
Escrevendo a integral com a ordem invertida, obtemos
Passo 4
Vamos calcular a integral original em
e
:
Passo 5
Agora calculamos a integral na ordem invertida:
Passo 6
As duas integrais dão o mesmo resultado,
, como era de se esperar.