Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo. Verifique o resultado, calculando ambas as integrais
integral0^2 integral1^e^x d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integral0^2 integral1^e^x dy,dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas: primeiro a gente descreve a região de integração no plano (x,y), depois troca os limites de x e y e, por fim, calcula ambas as integrais para conferir que dão o mesmo valor.

Passo 2

A região D é
D = (x,y)mid 0<= x<=2,;1<= y<= e^x
Em D, o menor valor de y ocorre em x=0, ou seja y=1, e o maior em x=2, ou seja y=e^2. Para um y fixo, a condição y<= e^x equivale a x>= ln(y), além de x<=2. Logo, podemos descrever
D=(x,y)mid 1<= y<= e^2,;ln(y)<= x<=2

Passo 3

Escrevendo a integral com a ordem invertida, obtemos
integral1^e^2 integralln(y)^2 dx,dy

Passo 4

Vamos calcular a integral original em x e y:
integral0^2 integral1^e^x dy,dx =integral0^2l(e^x-1r)dx =l[e^x-xr]0^2 =(e^2-2)-(e^0-0) =e^2-3

Passo 5

Agora calculamos a integral na ordem invertida:
integral1^e^2 integralln(y)^2 dx,dy =integral1^e^2l(2-ln(y)r)dy =l[2y-l(yln(y)-yr)r]1^e^2 =l(2e^2-e^2cdot2+e^2r)-(2-0+1) =e^2-3

Passo 6

As duas integrais dão o mesmo resultado, e^2-3, como era de se esperar.

Resposta

integral0^2 integral1^e^x dy,dx =integral1^e^2 integralln(y)^2 dx,dy =e^2-3

Exercícios relacionados