Mostre que lim P P0 f(x, y) não existe se:
P0(0,0) e

Passo 1

O exercício pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, onde f(x,y)=dfracx^4+3x^2y^2+2xy^3(x^2+y^2)^2. O conteúdo envolvido é limite de funções de duas variáveis e, para decidir se não existe, vamos usar a técnica de seguir por retas (ou seja, por caminhos do tipo y=mx).

Passo 2

Vamos parametrizar o caminho por y=mx e substituir em f. Temos
f(x,mx)=x^4+3x^2(mx)^2+2x,(mx)^3l(x^2+(mx)^2r)^2 =x^4+3m^2x^4+2m^3x^4x^4(1+m^2)^2 =1+3m^2+2m^3(1+m^2)^2

Passo 3

Como essa expressão não depende de x, o limite ao longo da reta y=mx é
L(m)=1+3m^2+2m^3(1+m^2)^2

Passo 4

Agora basta escolher dois valores de m que deem resultados diferentes. Por exemplo, para m=0 temos
L(0)=1+0+0(1+0)^2=1,

Passo 5

e para m=1
L(1)=1+3+2(1+1)^2=64=tfrac32

Passo 6

Como ao longo de duas retas obtemos limites diferentes (1 e 3/2), concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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