Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor \mathbf{v}.
14. g(r, s)=\operatorname{tg}^{-1}(r s), \quad(1,2), \quad \mathbf{v}=5 \mathbf{i}+10 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de g(r,s)=\tan^{-1}(r\,s) no ponto (1,2) na direção do vetor \mathbf{v}=5\mathbf{i}+10\mathbf{j}. O conteúdo é derivada direcional, que se obtém com o gradiente de g e o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Para achar o gradiente, note que se g(r,s)=\tan^{-1}(u) com u=rs, então pela regra da cadeia
\frac{\partial g}{\partial r} =\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\partial u}{\partial r} =\frac{s}{1+(rs)^{2}}, \quad \frac{\partial g}{\partial s} =\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\partial u}{\partial s} =\frac{r}{1+(rs)^{2}}.

Passo 3

No ponto (1,2) temos rs=2 e 1+(rs)^{2}=5. Logo
\label{} \nabla g(1,2)=\Bigl(\tfrac{2}{5},\,\tfrac{1}{5}\Bigr).

Passo 4

O vetor unitário em \mathbf{v}=(5,10) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{5^{2}+10^{2}}=5\sqrt{5}, \quad \mathbf{u}=\frac{1}{5\sqrt{5}}(5,10)=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}g(1,2) =\nabla g(1,2)\cdot\mathbf{u} =\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} =\frac{4}{5\sqrt{5}} =\frac{4\sqrt{5}}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5\sqrt{5}}

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