[19] Determine a inversa das seguintes funções:

Passo 1

Temos duas funções e queremos encontrar suas inversas. O conteúdo de matéria aqui é funções inversas, que consiste em trocar as variáveis x e y e depois resolver a equação para y. No primeiro caso vamos usar propriedades de logaritmo e exponenciação; no segundo, manipulações algébricas.

Passo 2

Para a primeira função, defina
y = 12logal(tfracx+1x-1r)
Multiplique ambos os lados por 2 e exponencie na base a, obtendo
2y = logal(tfracx+1x-1r) Longrightarrow x+1x-1 = a^2y

Passo 3

Agora resolva essa equação para x. Começando de
x+1x-1 = a^2y,
multiplique em cruz e isole x, o que leva a
x = a^2y + 1a^2y - 1
Por fim, troque y por x para obter
f^-1(x) = a^2x + 1a^2x - 1

Passo 4

Para a segunda função, defina
y = 3x + 54 - 3x
Multiplique ambos os lados por 4 - 3x:
y(4 - 3x) = 3x + 5

Passo 5

Reorganize os termos para isolar x:
4y - 3yx = 3x + 5 Longrightarrow -3yx - 3x = 5 - 4y Longrightarrow x(-3y - 3) = 5 - 4y,
resultando em
x = 4y - 53y + 3
Trocando y por x, concluímos
f^-1(x) = 4x - 53x + 3

Resposta

  1. f^-1(x) = a^2x + 1a^2x - 1
  2. f^-1(x) = 4x - 53x + 3

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