Encontre o volume do sólido delimitado pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é delimitado por quatro planos:
,
,
e
. Isso está relacionado à geometria espacial, especificamente ao cálculo de volumes de sólidos definidos por planos. Para resolver, vamos identificar a região no espaço onde esses planos se encontram e usar integrais para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as interseções desses planos com os eixos coordenados. Isso ajuda a visualizar o sólido.
- Quando
e , temos → . Então, o ponto é (0, 0, 2). - Quando
e , temos → . Então, o ponto é (0, 3, 0). - Quando
e , temos . Então, o ponto é (6, 0, 0).
Esses três pontos, junto com a origem (0,0,0), formam um tetraedro.
Passo 3
Agora, para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume de um paralelepípedo e dividir por 6, já que um tetraedro é 1/6 desse volume. A fórmula geral para o volume
é:
Mas podemos simplificar usando as coordenadas dos pontos que encontramos.
Passo 4
Outra maneira prática é integrar a função que define o plano acima da base no primeiro octante (onde
,
,
são positivos). A equação do plano é
, que podemos reescrever para
:
Vamos integrar essa função para encontrar o volume.
Passo 5
Definimos os limites de integração. Para
, vai de 0 até 6. Para
, para cada
, vai de 0 até
. E para
, para cada
e
, vai de 0 até
.
Então, o volume
é:
Passo 6
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, a expressão para
fica:
Passo 7
Integramos agora em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites de integração ficam de
a
:
Resposta
O volume do sólido delimitado pelos planos é 6 unidades cúbicas.