Encontre o volume do sólido delimitado pelos planos x+2 y+3 z=6, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é delimitado por quatro planos: x + 2y + 3z = 6, x = 0, y = 0 e z = 0. Isso está relacionado à geometria espacial, especificamente ao cálculo de volumes de sólidos definidos por planos. Para resolver, vamos identificar a região no espaço onde esses planos se encontram e usar integrais para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as interseções desses planos com os eixos coordenados. Isso ajuda a visualizar o sólido.
  • Quando x = 0 e y = 0, temos 3z = 6 z = 2. Então, o ponto é (0, 0, 2).
  • Quando x = 0 e z = 0, temos 2y = 6 y = 3. Então, o ponto é (0, 3, 0).
  • Quando y = 0 e z = 0, temos x = 6. Então, o ponto é (6, 0, 0).
Esses três pontos, junto com a origem (0,0,0), formam um tetraedro.

Passo 3

Agora, para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a fórmula do volume de um paralelepípedo e dividir por 6, já que um tetraedro é 1/6 desse volume. A fórmula geral para o volume V é:
V = 16 times | determinante da matriz formada pelos vetores das arestas |
Mas podemos simplificar usando as coordenadas dos pontos que encontramos.

Passo 4

Outra maneira prática é integrar a função que define o plano acima da base no primeiro octante (onde x, y, z são positivos). A equação do plano é x + 2y + 3z = 6, que podemos reescrever para z:
z = 6 - x - 2y3
Vamos integrar essa função para encontrar o volume.

Passo 5

Definimos os limites de integração. Para x, vai de 0 até 6. Para y, para cada x, vai de 0 até 6 - x2. E para z, para cada x e y, vai de 0 até 6 - x - 2y3.
Então, o volume V é:
V = integral0^6 integral0^6 - x2 integral0^6 - x - 2y3 dz , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integremos em relação a z:
integral0^6 - x - 2y3 dz = 6 - x - 2y3
Agora, a expressão para V fica:
V = integral0^6 integral0^6 - x2 6 - x - 2y3 , dy , dx

Passo 7

Integramos agora em relação a y:
integral0^6 - x2 6 - x - 2y3 , dy = 13 [ (6 - x)y - y^2 ]0^6 - x2 = 13 [ (6 - x)^22 - (6 - x)^24 ] = (6 - x)^212
Então, o volume fica:
V = integral0^6 (6 - x)^212 , dx

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a x:
V = 112 integral0^6 (6 - x)^2 , dx
Fazendo a substituição u = 6 - x, du = -dx, os limites de integração ficam de u = 6 a u = 0:
V = 112 integral6^0 u^2 (-du) = 112 integral0^6 u^2 , du = 112 [ u^33 ]0^6 = 112 ( 2163 ) = 112 times 72 = 6

Resposta

O volume do sólido delimitado pelos planos é 6 unidades cúbicas.

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