Mostre que
lim x 0 a^x-1x=ln (a)

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar que \
limx to 0 a^x - 1x = ln(a) \
Estamos em um contexto de limites e exponenciais, e vamos precisar usar a mudança de base da função exponencial (para usar o exponencial natural) e um limite fundamental: \
limu to 0 e^u - 1u = 1

Passo 2

Primeiro, lembramos que qualquer exponencial de base a>0 pode ser escrita em termos do exponencial natural: \
a^x = e^x ln(a)

Passo 3

Substituindo essa expressão dentro do quociente, temos \
a^x - 1x = e^x ln(a) - 1x

Passo 4

Agora, fazemos a mudança de variável u = x ln(a). Quando x to 0, claramente u to 0. Além disso, x = u / ln(a). Então \
e^x ln(a) - 1x = e^u - 1u cdot ln(a)

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite conhecido \
limu to 0 e^u - 1u = 1, \
de onde segue que \
limx to 0 a^x - 1x = 1 cdot ln(a) = ln(a)

Resposta

ln(a)

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