Exarcicio 1.16. Para cada seja .
(a) Encontre .
(b) As séries sum cn e sum(-1)^n cn convergem?
(c) Encontre o intervalo de convergencia da serie de potencias sum cn x^n.
Passo 1
O enunciado define a sequência
cn = l(tfrac4 + 2(-1)^n5r)^n
e pede em (a) os valores de limsup |cn|^1/n,;liminf |cn|^1/n,;limsupl|cn+1/cnr| e liminfl|cn+1/cnr|;
em (b) se sum cn e sum(-1)^ncn convergem;
e em (c) o intervalo de convergência da série de potências sum cnx^n.
Para isso vamos usar a forma em que cn oscila entre dois valores geométricos, aplicar as definições de lim
sup/lim
supinf, o teste da razão e do termo geral, e o teste da raiz para séries de potências.
Para sum cn, note que c2k=(6/5)^2k=(36/25)^ktoinfty quando ktoinfty. Logo lim cnneq0 e a série diverge pelo teste do termo geral.
Passo 5
Para sum(-1)^ncn, o termo geral também não tende a zero (c2k= (36/25)^ktoinfty), então diverge pelo mesmo teste do termo geral (nem a alternância salva).
Passo 6
Na série de potências sum cnx^n use o teste da raiz:
Para convergir requer tfrac65|x|<1, isto é |x|<tfrac56. Se |x|=tfrac56, os termos não tendem a zero (pois para n par cnx^n=1), então diverge. Logo o intervalo de convergência é
boxed(-tfrac56,,tfrac56)
Resposta
(a) limsup|cn|^1/n=6/5,;liminf|cn|^1/n=2/5,;limsup|cn+1/cn|=infty,;liminf|cn+1/cn|=0
(b) Ambas as séries sum cn e sum(-1)^ncn divergem.
(c) Intervalo de convergência de sum cnx^n é (-tfrac56,tfrac56).