Exarcicio 1.16. Para cada n in N seja cn=(4+2(-1)^n5)^n.
(a) Encontre lim sup |cn|^1 / n, lim inf |cn|^1 / n, limsup |cn+1cn| e lim inf |cn+1cn|.
(b) As séries sum cn e sum(-1)^n cn convergem?
(c) Encontre o intervalo de convergencia da serie de potencias sum cn x^n.

Passo 1

O enunciado define a sequência
cn = l(tfrac4 + 2(-1)^n5r)^n
e pede em (a) os valores de
limsup |cn|^1/n,;liminf |cn|^1/n,;limsupl|cn+1/cnr| e liminfl|cn+1/cnr|;
em (b) se sum cn e sum(-1)^ncn convergem;
e em (c) o intervalo de convergência da série de potências sum cnx^n.
Para isso vamos usar a forma em que cn oscila entre dois valores geométricos, aplicar as definições de lim
sup/lim
supinf, o teste da razão e do termo geral, e o teste da raiz para séries de potências.

Passo 2

Note que
An = 4 + 2(-1)^n5 = 65,&n par, 25,&n ímpar, í
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;|cn|^1/n = |An| intfrac65,tfrac25.
Logo
limsupntoinfty |cn|^1/n = maxtfrac65,tfrac25 = tfrac65, liminfntoinfty |cn|^1/n = mintfrac65,tfrac25 = tfrac25

Passo 3

Para a razão observe separadamente n par e ímpar.
  1. Se n é ímpar então An=tfrac25,,An+1=tfrac65 e
l|tfraccn+1cnr| = (6/5)^,n+1(2/5)^,n = 65l(6/52/5r)^n = 65,3^n ;xrightarrow[ntoinfty];infty
  1. Se n é par então An=tfrac65,,An+1=tfrac25 e
l|tfraccn+1cnr| = (2/5)^,n+1(6/5)^,n = 25l(2/56/5r)^n = 25,l(tfrac13r)^n ;xrightarrow[ntoinfty];0
Portanto
limsupntoinftyl|tfraccn+1cnr|=infty, liminfntoinftyl|tfraccn+1cnr|=0

Passo 4

Para sum cn, note que c2k=(6/5)^2k=(36/25)^ktoinfty quando ktoinfty. Logo lim cnneq0 e a série diverge pelo teste do termo geral.

Passo 5

Para sum(-1)^ncn, o termo geral também não tende a zero ( c2k= (36/25)^ktoinfty), então diverge pelo mesmo teste do termo geral (nem a alternância salva).

Passo 6

Na série de potências sum cnx^n use o teste da raiz:
limsupntoinfty |cnx^n|^1/n = l(limsup|cn|^1/nr),|x| = tfrac65,|x|
Para convergir requer tfrac65|x|<1, isto é |x|<tfrac56. Se |x|=tfrac56, os termos não tendem a zero (pois para n par cnx^n=1), então diverge. Logo o intervalo de convergência é
boxed(-tfrac56,,tfrac56)

Resposta

(a) limsup|cn|^1/n=6/5,;liminf|cn|^1/n=2/5,;limsup|cn+1/cn|=infty,;liminf|cn+1/cn|=0
(b) Ambas as séries sum cn e sum(-1)^ncn divergem.
(c) Intervalo de convergência de sum cnx^n é (-tfrac56,tfrac56).

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