Calcule integral triplaE raizy^2+z^2 d V, onde E é a região limitada pela superficie x=y^2+z^2 e pelo plano x=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaE raizy^2+z^2;dV,
onde E é a região em que
y^2+z^2<= x<= 9
Este é um problema de integração tripla em que o integrando e a fronteira envolvem y^2+z^2. A técnica ideal é usar coordenadas cilíndricas no plano yz, definindo
y = rcostheta, z = rsintheta, x = x,
para aproveitar a simetria radial em y,z.

Passo 2

Em coordenadas (x,r,theta) temos
raizy^2+z^2 = r,
e o elemento de volume
dV = r,dr,dtheta,dx
A região E fica descrita por
0 <= r^2 <= x <= 9, 0 <= theta <= 2pi
Ou seja, para cada xin[0,9], r varia de 0 a raizx, e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Substituindo integrando e jacobiano, a integral vira
integral triplaE raizy^2+z^2;dV =integralx=0^9!!integraltheta=0^2pi!!integralr=0^raizx ;r ;l(r,dr,dtheta,dxr) =integral0^9!!integral0^2pi!!integral0^raizxr^2,dr,dtheta,dx

Passo 4

Primeiro, integramos em r:
integral0^raizxr^2,dr =13,r^3|0^raizx =13,x^3/2
Logo a integral reduz a
integral0^9!!integral0^2pi13x^3/2,dtheta,dx =13integral0^9x^3/2,dx;integral0^2pidtheta =2pi3integral0^9x^3/2,dx
Agora em x:
integral0^9x^3/2,dx =25,x^5/2|0^9 =25,9^5/2 =25,243 =4865
Multiplicando:
2pi3times4865 =972pi15 =324pi5

Resposta

boxed324pi5

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