[19] Determine a inversa das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para achar a função inversa de duas funções:
f1(x)=tfrac12loga!l(tfracx+1x-1r) (com a>0, aneq1)
f2(x)=dfracxraizx^2+1
O conteúdo principal é “inverter funções”: a gente substitui y=f(x), resolve para x em termos de y e depois troca y por x na resposta.

Passo 2

Invertemos f1. Começamos definindo
y=tfrac12loga!l(tfracx+1x-1r)
Multiplicamos ambos os lados por 2:
2y=loga!l(tfracx+1x-1r)
Agora aplicamos a exponenciação na base a:
a^2y=x+1x-1
Multiplicando em cruz e isolando x:
x+1=a^2y(x-1) Longrightarrow x+1=a^2yx -a^2y Longrightarrow x,(1 - a^2y)= -l(a^2y+1r)
Longrightarrow x=a^2y+1a^2y-1
Por fim, trocamos y por x para obter
f1^-1(x)=a^2x+1a^2x-1

Passo 3

Invertemos f2. Definimos
y=xraizx^2+1
Multiplicamos por raizx^2+1 e isolamos:
y,raizx^2+1=x Longrightarrow y^2,(x^2+1)=x^2 Longrightarrow y^2x^2 + y^2 = x^2
Longrightarrow x^2,(y^2-1) = -y^2 Longrightarrow x^2 = y^21-y^2
Como f2 é crescente e passa pela origem, o sinal de x coincide com o de y. Logo
x = yraiz1-y^2
e trocamos y por x:
f2^-1(x)=xraiz1-x^2

Resposta

f1^-1(x)=dfraca^2x+1a^2x-1
f2^-1(x)=dfracxraiz1-x^2

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