Exzrcicio 1.15. Expandir as seguintes funçōes em série de potências ao redor do a dado:
(4) f(x)=1x^2+4 x+7 ao redor de a=-2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=1x^2+4x+7
ao redor de a=-2.
Vamos usar o conteúdo de séries de Taylor/Geometricas: definimos h = x - a = x+2 e expandimos em potências de h para obter a série.

Passo 2

Substituindo x = -2 + h no denominador, temos
x^2+4x+7=(h-2)^2+4(h-2)+7
x^2+4x+7 =h^2-4h+4+4h-8+7 =h^2+3
Logo
f(x)=1h^2+3

Passo 3

Fatoramos 3 no denominador para usar a série geométrica:
f(x)=13;11+dfrach^23
Aqui podemos aplicar
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n,válido para |u|<1, á
com u = dfrach^23.

Passo 4

Substituindo na fórmula geométrica, obtemos
f(x) =13sumn=0^infty(-1)^nl(h^23r)^n =sumn=0^infty(-1)^nh^2n3^,n+1
Voltando a h = x+2,
boxed f(x) =sumn=0^infty(-1)^n(x+2)^2n3^,n+1, com raio de convergência |x+2|<raiz3 ê

Resposta

1x^2+4x+7 =sumn=0^infty(-1)^n(x+2)^2n3^,n+1, |x+2|<raiz3

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