Considere a função
f(x)=lll 2 x^2+3, & se & x <= 3 3 x+B, & se & x>3
Determine o valor de B tal que f(x) seja contínua em x=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de B na função definida por partes para que ela seja contínua em x = 3 . A matéria que estamos lidando aqui é funções contínuas e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como garantir que a função não tenha “saltos” ou “interrupções” no ponto x = 3 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
f(x) = 2x^2 + 3, & se x <= 3 3x + B, & se x > 3
Queremos que f(x) seja contínua em x = 3 . Isso significa que o limite da função quando x se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em x = 3 .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em x = 3 :
f(3) = 2(3)^2 + 3 = 2 times 9 + 3 = 18 + 3 = 21

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 3 pela direita ( x > 3 ):
limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ (3x + B) = 3(3) + B = 9 + B

Passo 5

Para que a função seja contínua em x = 3 , os dois valores devem ser iguais:
9 + B = 21

Passo 6

Resolvendo para B :
B = 21 - 9 = 12

Resposta

O valor de B deve ser igual a 12 para que f(x) seja contínua em x = 3 .

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