Scja n in N divisível por a c por b. Supondo que a e b são primos entre si, mostre que n é divisível por a times b.

Passo 1

O enunciado diz que ninN é divisível por a e por b e que gcd(a,b)=1. Precisamos mostrar que então ab também divide n. O conteúdo envolvido é teoria de divisibilidade em Z, especialmente o fato de que, quando gcd(a,b)=1, do amid(bc) segue amid c.

Passo 2

Como bmid n, existe kinN tal que
n = b,k
Também temos amid n, logo a divide o produto b,k. Mas gcd(a,b)=1, então pelo lema de Euclides (ou propriedade de cancelamento em inteiros):
amid (b,k)e gcd(a,b)=1 Longrightarrow amid k
Assim, existe minZ com
k = a,m

Passo 3

Substituindo k=a,m em n=b,k, obtemos
n = b,(a,m) = (a,b),m
Isso mostra exatamente que ab divide n.

Resposta

Fica demonstrado que abmid n.

Exercícios relacionados