19 Determine o valor de x para que \left[\begin{array}{cc}-2 & x \\\\ 3 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] seja uma matriz simétrica.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}-2 & x \\[6pt] 3 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e pede o valor de x para que o produto A B seja uma matriz simétrica. Vamos usar a definição de matriz simétrica (uma matriz M é simétrica se M = M^T, isto é, seus elementos fora da diagonal satisfazem m_{12}=m_{21}) e a regra de multiplicação de matrizes.]

Passo 2

Calculamos o produto A B:
A B = \begin{pmatrix}-2 & x \\[3pt] 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot1 + x\cdot0 & -2\cdot(-1) + x\cdot1 \\[6pt] 3\cdot1 + 1\cdot0 & 3\cdot(-1) + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 + x \\[3pt] 3 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para que \begin{pmatrix}-2 & 2 + x \\[3pt] 3 & -2\end{pmatrix} seja simétrica, devemos ter
2 + x = 3.
Resolvendo, obtemos
x = 1.]

Resposta

x = 1

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