Calcule:
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quadrado da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é multiplicação de matrizes: vamos usar a definição que diz que o elemento (i,j) de A^2 é
(A^2)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,A_{kj}.

Passo 2

Para o elemento (1,1) temos
(A^2)_{11} = A_{11}A_{11} + A_{12}A_{21} + A_{13}A_{31} = 2\cdot2 + 1\cdot3 + 1\cdot0 = 4 + 3 + 0 = 7.
Para (1,2):
(A^2)_{12} = 2\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2 + 1 + 1 = 4.
Para (1,3):
(A^2)_{13} = 2\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot2 = 2 + 0 + 2 = 4.

Passo 3

Agora a segunda linha de A^2. Para (2,1):
(A^2)_{21} = 3\cdot2 + 1\cdot3 + 0\cdot0 = 6 + 3 + 0 = 9.
Para (2,2):
(A^2)_{22} = 3\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1 = 3 + 1 + 0 = 4.
Para (2,3):
(A^2)_{23} = 3\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot2 = 3 + 0 + 0 = 3.

Passo 4

Finalmente a terceira linha de A^2. Para (3,1):
(A^2)_{31} = 0\cdot2 + 1\cdot3 + 2\cdot0 = 0 + 3 + 0 = 3.
Para (3,2):
(A^2)_{32} = 0\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 = 0 + 1 + 2 = 3.
Para (3,3):
(A^2)_{33} = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 2\cdot2 = 0 + 0 + 4 = 4.

Resposta

A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 4\\\\ 9 & 4 & 3\\\\ 3 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

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