Calcule:
\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -\sin (\theta) \\\ \sin (\theta) & \cos (\theta)\end{array}\right]^{k}(\theta \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de ordem k da matriz de rotação
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}
com \theta\in\mathbb{R} e k\in\mathbb{N}. Para resolver, usamos a propriedade fundamental de que a composição de rotações soma os ângulos.

Passo 2

Vamos mostrar que, para quaisquer \theta,\varphi\in\mathbb{R},
R(\theta)\,R(\varphi) =\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi\\\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(\theta+\varphi) & -\sin(\theta+\varphi)\\\ \sin(\theta+\varphi) & \cos(\theta+\varphi) \end{pmatrix} =R(\theta+\varphi).
Basta multiplicar as matrizes e usar as fórmulas de adição de seno e cosseno.

Passo 3

Agora usamos indução em k.
Base ( k=1):
R(\theta)^1=R(\theta)=R(1\cdot\theta).
Passo indutivo: suponha que R(\theta)^k=R(k\theta). Então
R(\theta)^{k+1} =R(\theta)^k\,R(\theta) =R(k\theta)\,R(\theta) =R(k\theta+\theta) =R\bigl((k+1)\theta\bigr).
Isso fecha a indução para todo k\in\mathbb{N}.

Resposta

\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}^{k} = \begin{pmatrix} \cos(k\theta) & -\sin(k\theta)\\\ \sin(k\theta) & \cos(k\theta) \end{pmatrix}.

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