Seja
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] .
Determine todas as matrizes B de ordem 2 tais que A B=B A. Existe alguma contradição com o problema anterior?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}
e pede todas as matrizes B de ordem 2 tais que
AB = BA.
Aqui o conteúdo é cálculo de comutante de matriz, que consiste em escrever uma matriz genérica B, calcular AB e BA e igualar as entradas.]

Passo 2

Suponha
B = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
Vamos calcular AB e BA:
AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 0\cdot c & 1\cdot b + 0\cdot d\\[4pt] 1\cdot a + 1\cdot c & 1\cdot b + 1\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[4pt] a + c & b + d \end{pmatrix},
BA = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot1 + b\cdot1 & a\cdot0 + b\cdot1\\[4pt] c\cdot1 + d\cdot1 & c\cdot0 + d\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & b\\[4pt] c + d & d \end{pmatrix}.]

Passo 3

Impondo AB = BA, igualamos as entradas correspondentes:
(1,1): a = a + b b = 0.
(1,2): b = b (sem nova condição).
(2,1): a + c = c + d a = d.
(2,2): b + d = d b = 0 (repetido).
Logo as condições são
b = 0 \quad\text{e}\quad d = a,
enquanto c fica livre.

Passo 4

Concluímos que todas as matrizes B que comutam com A são da forma
B = \begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]c & a\end{pmatrix},
com a,c arbitrários no corpo considerado.]

Passo 5

Não há contradição com o problema anterior. Aqui encontramos que o comutante de A tem dimensão 2, consistente com o fato de A ser um bloco de Jordan de tamanho 2: seu comutante é exatamente o anel de polinômios em A, gerado por I e por A - I.

Resposta

As matrizes B que comutam com
\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}
são
B = \begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]c & a\end{pmatrix},
com a,c quaisquer. Não há contradição com o problema anterior.]

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