19 Determine os valores reais de x e y para que se tenha: (x+2 y i) \cdot(1-3 i)=15-5 i

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de x e y tais que
(x + 2y\,i)\,\bigl(1 - 3i\bigr) = 15 - 5i.
O conteúdo é multiplicação de números complexos e uso de partes real e imaginária para montar um sistema.

Passo 2

A regra de multiplicação de complexos é
(a + b\,i)\,(c + d\,i) = (a\,c - b\,d) + (a\,d + b\,c)\,i.
Aqui temos a = x, b = 2y, c = 1, d = -3.

Passo 3

Aplicando a fórmula e lembrando que i^2 = -1:
(x + 2y\,i)(1 - 3i) = x\cdot1 - (2y)\cdot(-3) + \bigl(x\cdot(-3) + (2y)\cdot1\bigr)\,i = \bigl(x + 6y\bigr) + \bigl(2y - 3x\bigr)\,i.

Passo 4

Igualando com 15 - 5i, obtemos o sistema
\begin{cases} x + 6y = 15,\\\\ 2y - 3x = -5. \end{cases}

Passo 5

Da primeira equação x = 15 - 6y. Substituindo na segunda:
2y - 3(15 - 6y) = -5 \quad\Longrightarrow\quad 2y - 45 + 18y = -5 \quad\Longrightarrow\quad 20y = 40 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Logo x = 15 - 6\cdot2 = 3.

Resposta

x = 3,\;y = 2

Exercícios relacionados