Questão 08
(UFF/Adaptada) Seja o conjunto A=\left\{w_{1}, w_{2}\right\}, sendo w 1=(-1,3,-1), w 2=(1,-2,4). O subespaço S gerado pelo conjunto A é
S=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; z=10 x+2 y\right\}
S=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; z=12 x+y\right\}
\mathrm{S}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \in \mathrm{R}^{3} ; \mathrm{z}=0\right\}
S=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; x+y\right\}
S=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; z=10 x+3 y\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{w_{1},w_{2}\} com
w_{1}=(-1,3,-1),\quad w_{2}=(1,-2,4)
e pede o subespaço S=\mathrm{span}(A). O conteúdo aqui é combinar \,w_{1} e \,w_{2} por escalares para descrever a forma geral de um vetor em S e, em seguida, eliminar os parâmetros para obter a equação cartesiana do plano.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico (x,y,z)\in S como combinação linear:
(x,y,z)=a\,w_{1}+b\,w_{2}
com a,b\in\mathbb{R}. Logo, ao expandir,
(x,y,z) = a\,(-1,3,-1) + b\,(1,-2,4)
o que dá o sistema de componentes
\begin{cases} x = -a + b,\\\ y = 3a - 2b,\\\ z = -a + 4b. \end{cases}

Passo 3

Vamos eliminar a e b a partir das duas primeiras equações. Da primeira vem
a = b - x.
Substituindo em y = 3a - 2b obtém-se
y = 3(b - x) - 2b = 3b - 3x - 2b = b - 3x \quad\Longrightarrow\quad b = y + 3x.
Então
a = b - x = (y + 3x) - x = y + 2x.

Passo 4

Agora substituímos a e b na expressão de z:
z = -a + 4b = -(y + 2x) + 4(y + 3x) = -y - 2x + 4y + 12x = 10x + 3y.
Isso mostra que todo (x,y,z)\in S satisfaz
z = 10x + 3y,
e reciprocamente todo vetor com essa relação está em S.

Passo 5

Concluímos que o subespaço gerado por w_{1} e w_{2} é o plano passando pela origem dado por
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z = 10x + 3y\}.

Resposta

S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;;\;z=10x+3y\}

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