20 Determine x e y reais de modo que: (x+y i) \cdot(1-3 i)=-13-i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar números reais x e y tais que a multiplicação do número complexo x + y\,i pelo complexo 1 - 3\,i resulte em -13 - i. Vamos usar a definição de produto de números complexos e depois igualar as partes real e imaginária.

Passo 2

Calculamos
(x + y\,i)(1 - 3\,i) = x\cdot1 + x\cdot(-3\,i) + y\,i\cdot1 + y\,i\cdot(-3\,i) = x - 3x\,i + y\,i - 3y\,i^2.
Como i^2 = -1, isso fica
x - 3x\,i + y\,i + 3y = (x + 3y) + (y - 3x)\,i.
Esse resultado deve ser igual a -13 - 1\,i.

Passo 3

Comparando partes real e imaginária, obtemos o sistema
\begin{cases} x + 3y = -13,\\\ y - 3x = -1. \end{cases}
Da segunda equação segue y = 3x - 1. Substituindo na primeira:
x + 3(3x - 1) = -13 \quad\Longrightarrow\quad x + 9x - 3 = -13 \quad\Longrightarrow\quad 10x = -10 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.
Então
y = 3(-1) -1 = -4.

Resposta

x = -1, y = -4.

Exercícios relacionados