Encontre a parametrização em relação ao comprimento do arco da curva descrita parametricamente pela função abaixo e medido a partir de t_{0}=0.
r(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
r(t)=\bigl\langle e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr\rangle
em função do comprimento de arco s medido desde t_{0}=0. O que precisamos fazer é (1) calcular a velocidade \bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert, (2) obter s(t)=\int_{0}^{t}\lvert r'(u)\rvert\,du, (3) inverter s(t) para t(s) e (4) substituir na expressão de r.

Passo 2

Vamos achar r'(t) e o módulo da velocidade.
r'(t)=\bigl\langle \tfrac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr),\;\tfrac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr)\bigr\rangle =\bigl\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\;e^{t}(\sin t+\cos t)\bigr\rangle.
Então
\bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert =\sqrt{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{2}+e^{2t}(\sin t+\cos t)^{2}} =e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}.
Como
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2} = \underbrace{\cos^{2}t+\sin^{2}t}_{1}-2\sin t\cos t +\underbrace{\sin^{2}t+\cos^{2}t}_{1}+2\sin t\cos t =2,
segue
\bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert =\sqrt{2}\,e^{t}.

Passo 3

Agora computamos o comprimento de arco desde 0 até t:
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\lvert r'(u)\bigr\rvert\,du =\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,e^{u}\,du =\sqrt{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{t} =\sqrt{2}\bigl(e^{t}-1\bigr).

Passo 4

Invertendo s(t) para achar t em função de s:
s=\sqrt{2}\bigl(e^{t}-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad e^{t}=1+\frac{s}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad t(s)=\ln\!\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 5

Substituímos t(s) em r(t). Como e^{t}=1+\tfrac{s}{\sqrt{2}} e t=\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr), obtemos
r(s) =\bigl\langle (1+\tfrac{s}{\sqrt{2}})\cos\bigl(\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}})\bigr), \;(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}})\sin\bigl(\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}})\bigr)\bigr\rangle,
que é a parametrização em função do comprimento de arco s.

Resposta

r(s) =\bigl\langle \bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr)\cos\!\bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr)\bigr],\; \bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr)\sin\!\bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr)\bigr]\bigr\rangle,\quad s\ge0.

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