Questão 07
(Unicamp/ Adaptada) Se \mathrm{u}=(3,-1,-2), \mathrm{v}=(2,4,-1) e \mathrm{w}=(-1,0,1), o resultado de 2 \mathrm{v} \times 3 \mathrm{u} será
(24, -6, 24)
(-54, 6, -84)
(0, 1, 0)
(0,0,0)
(-54, -6, 24)

Passo 1

Resumindo: temos os vetores u=(3,-1,-2) e v=(2,4,-1) e queremos calcular 2v \times 3u. O conteúdo envolvido é produto vetorial em \mathbb{R}^3 e multiplicação escalar de vetores.

Passo 2

Uma propriedade importante é que o produto vetorial é bilinear, então podemos “fatorar” escalares:
2v \times 3u = (2\cdot3)\,(v \times u) = 6\,(v \times u).
Isso simplifica a conta, pois basta achar primeiro v \times u.

Passo 3

O produto vetorial de dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1).
Aplicando em v=(2,4,-1) e u=(3,-1,-2):
v \times u = (4 \cdot (-2) - (-1)\cdot(-1),\;(-1)\cdot3 - 2\cdot(-2),\;2\cdot(-1) - 4\cdot3)
= (-8 - 1,\;-3 + 4,\;-2 - 12) = (-9,1,-14).

Passo 4

Agora multiplicamos o vetor (-9,1,-14) por 6:
6 \cdot (-9,1,-14) = (-54,6,-84).

Resposta

(-54,6,-84)

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