19 Em Fortaleza, um fogão a gás natural é utilizado para ferver 2,0 litros de água que estão a uma temperatura inicial de 19^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o calor de combustão do gás é de 12000 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, que 25 \% desse calor é perdido para o ambiente, que o calor específico da água vale 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} e que a densidade absoluta da água é igual a 1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, que massa mínima de gás foi consumida no processo?
SOLUÇÃO
\mathrm{Q}=\mathrm{m} \mathrm{c} \Delta \mathrm{T}
12000 \cdot \mathrm{~m}_{\mathrm{g}} \cdot 0,75=2000 \cdot 1,0 \cdot(100-19)
9000 \mathrm{mg}=162000

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Dados fornecidos (vou listar tudo sem resolver ainda):
  • Volume de água: 2{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura inicial da água: 19^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de ebulição considerada: 100^\circ\mathrm{C} (o enunciado pede ferver).
  • Calor de combustão do gás: 12000\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Fração de calor perdida ao ambiente: 25\%.
  • Calor específico da água: 1{,}0\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).
  • Densidade absoluta da água: 1{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
    Pergunta: determinar a massa mínima de gás consumida no processo.

Passo 2

Converter volume de água em massa (porque a fórmula do calor usa massa). Conversões e uso da densidade:
  • 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{cm}^3, logo 2{,}0\\ \mathrm{L}=2000\\ \mathrm{cm}^3.
  • Com densidade \rho=1{,}0\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, a massa da água é
m_{\text{água}} = \rho \cdot \text{volume} = 1{,}0\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\times 2000\\ \mathrm{cm}^3 = 2000\\ \mathrm{g}.á
Explicação rápida: densidade relaciona massa e volume por m=\rho V.

Passo 3

Calor necessário para aquecer a água até 100^\circ\mathrm{C}. Usamos a fórmula do calor sensível:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia térmica necessária (em calorias),
  • m é a massa (em gramas),
  • c é o calor específico (em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C})),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
    Aqui \Delta T = 100^\circ\mathrm{C}-19^\circ\mathrm{C}=81^\circ\mathrm{C}. Substituindo:
Q_{\text{necessário}} = 2000\\ \mathrm{g}\times 1{,}0\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}}\times 81^\circ\mathrm{C} = 162000\\ \mathrm{cal}.á
Comentário didático: multiplicamos massa × calor específico × variação de temperatura; as unidades se cancelam adequadamente para resultar em calorias.

Passo 4

Energia útil fornecida pelo gás considerando perdas. Cada grama de gás libera 12000\\ \mathrm{cal}, mas 25\% é perdido; logo apenas 75\% é aproveitado. Se a massa de gás consumida for m_g (em gramas), a energia útil é
Q_{\text{útil}} = 0{,}75 \times 12000\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}}\times m_g = 9000\\ m_g\\ \mathrm{cal}.ú
Explicação: multiplicamos o calor gerado por grama pelo número de gramas e pela fração que realmente aquece a água.

Passo 5

Igualar energia útil fornecida pelo gás à energia necessária da água e resolver para m_g. Montamos a equação:
9000\\ m_g = 162000.
Isolando m_g:
m_g = \frac{162000}{9000} = 18\\ \mathrm{g}.
Passo a passo da álgebra: dividimos ambos os lados por 9000 para obter a massa do gás. Unidade final vem diretamente porque dividimos calor (cal) por (cal/g), resultando em gramas.

Passo 6

Checagem rápida: com 18\\ \mathrm{g} de gás, calor total liberado é 18\times12000=216000\\ \mathrm{cal}; 25\% disso é 54000\\ \mathrm{cal} perdido, sobrando 162000\\ \mathrm{cal}, exatamente o que precisamos. Portanto o resultado é consistente.

Resposta

18\\ \mathrm{g}

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