Seja
.
(a)Verifique que, para todo
,
onde
e
.
(b)Calcule
, em que
para
.
(c)F é conservativo? Por quê?
(a)Verifique que, para todo
(b)Calcule
(c)F é conservativo? Por quê?
Passo 1
O enunciado define o campo de vetores
com
definido em
.
(a) Pede para verificar que .
(b) Calcular a integral de linha
com .
(c) Decidir se é conservativo e justificar.
(a) Pede para verificar que
(b) Calcular a integral de linha
com
(c) Decidir se
Passo 2
Calculamos
Passo 3
Agora
Portanto
.
Passo 4
Para a integral de linha, parametrize por
. Então
e
O produto escalar é
Logo
Passo 5
Apesar de
, o domínio
não é simplesmente conexo: envolve o ponto singular
. O fato de a integral num circuito em torno da origem dar
mostra que
não é conservativo.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não é conservativo, pois seu domínio não é simplesmente conexo e a integral em torno de um circuito fechando a origem não é zero.
(b)
(c) Não é conservativo, pois seu domínio não é simplesmente conexo e a integral em torno de um circuito fechando a origem não é zero.