19- Seja F=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j,(x, y) neq(0,0).
(a)Verifique que, para todo (x, y) neq(0,0),
partial Ppartial y(x, y)=partial Qpartial x(x, y)
onde P(x, y)=-yx^2+y^2 e Q(x, y)=xx^2+y^2.
(b)Calcule integral0^2 pi F(gamma(t)) cdot gamma^prime(t) dt, em que gamma(t)= (cos (t), sin (t)) para t in[0,2 pi].
(c)F é conservativo? Por quê?

Passo 1

O enunciado define o campo de vetores
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=xx^2+y^2,
definido em R^2setminus(0,0).
(a) Pede para verificar que partial P/partial y=partial Q/partial x.
(b) Calcular a integral de linha
integral0^2piF(gamma(t))cdotgamma'(t),dt
com gamma(t)=(cos t,sin t).
(c) Decidir se F é conservativo e justificar.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(-yx^2+y^2r) =-1cdot(x^2+y^2)-(-y)cdot2y(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2+2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora
partial Qpartial x =partialpartial xl(xx^2+y^2r) =1cdot(x^2+y^2)-xcdot2x(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2(x^2+y^2)^2
Portanto partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 4

Para a integral de linha, parametrize por gamma(t)=(cos t,sin t). Então
gamma'(t)=(-sin t,cos t),
e
F(gamma(t)) =l(-sin t1,cos t1r) =(-sin t,cos t)
O produto escalar é
F(gamma(t))cdotgamma'(t) =(-sin t)(-,sin t)+(cos t)(cos t) =sin^2t+cos^2t=1
Logo
integral0^2piF(gamma(t))cdotgamma'(t),dt =integral0^2pi1,dt=2pi

Passo 5

Apesar de Py=Qx, o domínio R^2setminus0 não é simplesmente conexo: envolve o ponto singular (0,0). O fato de a integral num circuito em torno da origem dar 2pineq0 mostra que F não é conservativo.

Resposta

(a) partial Ppartial y=-x^2+y^2(x^2+y^2)^2=partial Qpartial x
(b) integral0^2piF(gamma(t))cdotgamma'(t),dt=2pi
(c) Não é conservativo, pois seu domínio não é simplesmente conexo e a integral em torno de um circuito fechando a origem não é zero.

Exercícios relacionados