Resolva a equação diferencial dada.
9. t^2 d^2 yd t^2+t d yd t+2 y=sen t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
t^2d^2ydt^2 + tdydt + 2y = sin t
e pede a solução geral. O método é dividir o problema em: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) reescrever em forma padrão e (iii) aplicar variação de constantes para obter uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
t^2y'' + t,y' + 2y = 0
Assumimos y=t^m, o que leva à equação característica
m(m-1) + m + 2 = 0 ;Longrightarrow; m^2 + 2 = 0 ;Longrightarrow; m = pm iraiz2
Logo, duas soluções fundamentais são
y1(t)=t^iraiz2 , y2(t)=t^-iraiz2,
ou em forma real
yh(t) = C1cos!l(raiz2ln tr) + C2sin!l(raiz2ln tr)

Passo 3

Dividimos a equação original por t^2 para obter a forma padrão
y'' + 1ty' + 2t^2y = sin tt^2
Chamamos
f(t)=sin tt^2

Passo 4

Escolhemos
y1(t)=cos!l(raiz2ln tr), y2(t)=sin!l(raiz2ln tr)
Calculamos o wronskiano
W(t) = y1y2' - y1'y2 = raiz2tl[y1^2+y2^2r] = raiz2t

Passo 5

Pela variação de constantes temos
u1' = -y2,f(t)W(t) ;,; u2' = y1,f(t)W(t)
Substituindo f(t) e W(t):
u1' = -sin(raiz2ln t),sin t/t^2raiz2/t = -1raiz2;sin(raiz2ln t),sin tt,
u2' = 1raiz2;cos(raiz2ln t),sin tt
Integramos para obter
u1(t) = -1raiz2integral sin(raiz2ln t),sin tt,dt, u2(t) = 1raiz2integral cos(raiz2ln t),sin tt,dt

Passo 6

A solução particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
ou seja
yp(t) = -cos(raiz2ln t)raiz2 integral sin(raiz2ln t),sin tt,dt + sin(raiz2ln t)raiz2 integral cos(raiz2ln t),sin tt,dt
Portanto a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t)

Resposta

boxed y(t) = C1cos!l(raiz2ln tr) + C2sin!l(raiz2ln tr) -cos(raiz2ln t)raiz2 integral sin(raiz2ln t),sin tt,dt + sin(raiz2ln t)raiz2 integral cos(raiz2ln t),sin tt,dt

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