Resolva a equação diferencial dada.
9.
9.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
e pede a solução geral. O método é dividir o problema em: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) reescrever em forma padrão e (iii) aplicar variação de constantes para obter uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Assumimos
, o que leva à equação característica
Logo, duas soluções fundamentais são
ou em forma real
Passo 3
Dividimos a equação original por
para obter a forma padrão
Chamamos
Passo 4
Escolhemos
Calculamos o wronskiano
Passo 5
Pela variação de constantes temos
Substituindo
e
:
Integramos para obter
Passo 6
A solução particular é
ou seja
Portanto a solução geral é