Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=2 x+2 y ; x{2}+y{2}=2 .

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar os extremos de f(x,y)=2x+2y sujeitos à restrição x^2+y^2=2. O método é o dos multiplicadores de Lagrange, que usa um parâmetro lambda para incorporar a restrição.

Passo 2

Definimos a função Lagrangeana como:
L(x,y,lambda)=2x+2y-lambda,(x^2+y^2-2)
Aqui, subtraímos lambda vezes a restrição para que nablaL=0 imponha tanto o extremo quanto a restrição.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=2-2lambda x=0,
partialLpartial y=2-2lambda y=0,
partialLpartiallambda=-(x^2+y^2-2)=0

Passo 4

Das duas primeiras equações vem 2-2lambda x=0 e 2-2lambda y=0, logo lambda x=1 e lambda y=1. Isso implica x=y. Substituindo na restrição x^2+y^2=2 resulta em 2x^2=2 e portanto x^2=1, de onde x=y=pm1. Assim, os pontos críticos são (1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Avaliamos f nesses pontos:
f(1,1)=2cdot1+2cdot1=4,
f(-1,-1)=2(-1)+2(-1)=-4
Portanto, o maior valor de f é 4 em (1,1) e o menor valor é -4 em (-1,-1).

Resposta

Máximo de f é 4 em (1,1); mínimo de f é -4 em (-1,-1).

Exercícios relacionados