Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=2 x+2 y ; x{2}+y{2}=2 .
f(x, y)=2 x+2 y ; x{2}+y{2}=2 .
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar os extremos de
sujeitos à restrição
. O método é o dos multiplicadores de Lagrange, que usa um parâmetro
para incorporar a restrição.
Passo 2
Definimos a função Lagrangeana como:
Aqui, subtraímos
vezes a restrição para que
imponha tanto o extremo quanto a restrição.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Das duas primeiras equações vem
e
, logo
e
. Isso implica
. Substituindo na restrição
resulta em
e portanto
, de onde
. Assim, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Avaliamos
nesses pontos:
Portanto, o maior valor de
é 4 em
e o menor valor é -4 em
.
Resposta
Máximo de
é 4 em (1,1); mínimo de
é -4 em (-1,-1).