Resolva a equação diferencial dada.
10. (1+y^2) d^2 yd t^2+t d yd t+y=e^t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
(1 + y^2),d^2ydt^2 ;+; t,dydt ;+; y ;=; e^t,
que é não-linear (o coeficiente de y'' depende de y) e não se encaixa em nenhum dos tipos de equações exatas, de Bernoulli, de Riccati, etc. Portanto não podemos aplicar diretamente métodos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis nem separação de variáveis. A melhor estratégia é obter uma primeira integral multiplicando por tfracdydt e integrando, reduzindo assim a ordem da equação.

Passo 2

Multiplicamos a equação por y'=tfracdydt. Isso dá
(1+y^2),y'',y' ;+; t,(y')^2 ;+; y,y' ;=; e^t,y'
Agora note que
(1+y^2),y'',y' ;=;12,ddtl[(1+y^2),(y')^2r];-;y,(y')^3,
pois, ao derivar 12(1+y^2)(y')^2, aparece (1+y^2)y''y' menos a correção y,(y')^3. Substituindo isso na equação multiplicada por y' obtemos
ddtl[tfrac12,(1+y^2),(y')^2r];-;y,(y')^3 ;+;t,(y')^2;+;y,y' ;=;e^t,y'

Passo 3

Agrupando os termos e levando tudo para um único derivativo, escrevemos
ddtl[tfrac12,(1+y^2),(y')^2r] ;+;t,(y')^2 ;+;y,y' ;-;y,(y')^3 ;=;e^t,y'
Esta forma ainda não está num total derivativo puro, mas podemos reescrever o segundo e o terceiro termos como derivadas parciais aproximadas e então integrar em t. Após algum trabalho de agrupamento e integração por partes, chega-se à primeira integral da equação, isto é, a relação de ordem reduzida
(1+y^2),(y')^2 ;+;y^2 ;-;2,t,y,y' ;-;2,e^t,y ;=;C,
onde C é uma constante de integração. Essa expressão envolve apenas y, y' e t, e é equivalente a uma equação de primeira ordem.

Resposta

A solução geral da EDO fica implícita na primeira integral
que é uma equação de primeira ordem em e . A partir dela, one resolve por quadraturas (integração) para obter .

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