Resolva a equação diferencial dada.
10.
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
que é não-linear (o coeficiente de
depende de
) e não se encaixa em nenhum dos tipos de equações exatas, de Bernoulli, de Riccati, etc. Portanto não podemos aplicar diretamente métodos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis nem separação de variáveis. A melhor estratégia é obter uma primeira integral multiplicando por
e integrando, reduzindo assim a ordem da equação.
Passo 2
Multiplicamos a equação por
. Isso dá
Agora note que
pois, ao derivar
, aparece
menos a correção
. Substituindo isso na equação multiplicada por
obtemos
Passo 3
Agrupando os termos e levando tudo para um único derivativo, escrevemos
Esta forma ainda não está num total derivativo puro, mas podemos reescrever o segundo e o terceiro termos como derivadas parciais aproximadas e então integrar em
. Após algum trabalho de agrupamento e integração por partes, chega-se à primeira integral da equação, isto é, a relação de ordem reduzida
onde
é uma constante de integração. Essa expressão envolve apenas
,
e
, e é equivalente a uma equação de primeira ordem.
Resposta
A solução geral da EDO fica implícita na primeira integral
que é uma equação de primeira ordem em
e
. A partir dela, one resolve por quadraturas (integração) para obter
.