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Seja
uma função de uma variável real a valores reais.
(a) Prove que se
é estritamente crescente, então
é injetora.
Seja
(a) Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que leva números reais para números reais. A pergunta é: se
é estritamente crescente, então
é injetora?
Matéria envolvida: Funções, especialmente propriedades de funções como crescimento e injetividade.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser estritamente crescente e o que é uma função injetora. Depois, vamos mostrar que uma função que cresce sempre em uma direção não repete valores (o que significa que é injetora).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos:
-
Função Estritamente Crescente: Uma função
é estritamente crescente se, para quaisquer dois números reais e , sempre que , então . -
Função Injetora: Uma função
é injetora se, para quaisquer dois números reais e , sempre que , então . Em outras palavras, ela não atribui o mesmo valor de saída a dois diferentes valores de entrada.
Passo 3
Agora, vamos provar que se
é estritamente crescente, então
é injetora.
Vamos assumir que
é estritamente crescente e mostrar que isso implica que
é injetora.
Suponha que
. Precisamos mostrar que
.
Passo 4
Como
é estritamente crescente, sabemos que se
, então
. Da mesma forma, se
, então
.
Passo 5
Mas nossa suposição foi que
. Isso só pode acontecer se
não for menor que
e
não for maior que
. Portanto, temos que
.
Resposta
Assim, provamos que se
é estritamente crescente, então
é injetora.