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Seja f uma função de uma variável real a valores reais.
(a) Prove que se f é estritamente crescente, então f é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que leva números reais para números reais. A pergunta é: se é estritamente crescente, então é injetora?
Matéria envolvida: Funções, especialmente propriedades de funções como crescimento e injetividade.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser estritamente crescente e o que é uma função injetora. Depois, vamos mostrar que uma função que cresce sempre em uma direção não repete valores (o que significa que é injetora).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos:
  • Função Estritamente Crescente: Uma função é estritamente crescente se, para quaisquer dois números reais e , sempre que , então .
  • Função Injetora: Uma função é injetora se, para quaisquer dois números reais e , sempre que , então . Em outras palavras, ela não atribui o mesmo valor de saída a dois diferentes valores de entrada.

Passo 3

Agora, vamos provar que se é estritamente crescente, então é injetora.
Vamos assumir que é estritamente crescente e mostrar que isso implica que é injetora.
Suponha que . Precisamos mostrar que .

Passo 4

Como é estritamente crescente, sabemos que se , então . Da mesma forma, se , então .

Passo 5

Mas nossa suposição foi que . Isso só pode acontecer se não for menor que e não for maior que . Portanto, temos que .

Resposta

Assim, provamos que se é estritamente crescente, então é injetora.

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