Seja
uma função de uma variável real a valores reais.
(b) Prove que se
é estritamente crescente, então
também o é.
(b) Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se uma função
é estritamente crescente, então a sua inversa
também é estritamente crescente. Aqui, estamos lidando com funções, suas inversas e o conceito de crescimento estrito. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções e suas inversas se relacionam, especialmente no que diz respeito ao comportamento crescente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser estritamente crescente. Uma função
é estritamente crescente se, para quaisquer dois números
e
no domínio de
, se
, então
. Ou seja, conforme o valor de
aumenta, o valor de
também aumenta de forma consistente.
Passo 3
Agora, vamos pensar na função inversa
. A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Se
, então
. Para
existir, a função
precisa ser bijetora, ou seja, deve ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Passo 4
Sabendo que
é estritamente crescente, queremos provar que
também tem essa propriedade. Vamos considerar dois números
e
no domínio de
(que são na verdade no contradomínio de
) com
. Precisamos mostrar que
.
Passo 5
Como
e
é estritamente crescente, aplicando
em ambos os lados, temos:
Isso ocorre porque, se
aumenta quando
aumenta, então inverter a função preserva essa ordem. Ou seja, se
vem antes de
na ordem crescente de
, então
vem antes de
.
Resposta
Portanto, provamos que se
é estritamente crescente, então a função inversa
também é estritamente crescente.