Seja f uma função de uma variável real a valores reais.
(b) Prove que se f é estritamente crescente, então f^-1 também o é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se uma função é estritamente crescente, então a sua inversa também é estritamente crescente. Aqui, estamos lidando com funções, suas inversas e o conceito de crescimento estrito. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções e suas inversas se relacionam, especialmente no que diz respeito ao comportamento crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser estritamente crescente. Uma função é estritamente crescente se, para quaisquer dois números e no domínio de , se , então . Ou seja, conforme o valor de aumenta, o valor de também aumenta de forma consistente.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função inversa . A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Se , então . Para existir, a função precisa ser bijetora, ou seja, deve ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).

Passo 4

Sabendo que é estritamente crescente, queremos provar que também tem essa propriedade. Vamos considerar dois números e no domínio de (que são na verdade no contradomínio de ) com . Precisamos mostrar que .

Passo 5

Como e é estritamente crescente, aplicando em ambos os lados, temos:
Isso ocorre porque, se aumenta quando aumenta, então inverter a função preserva essa ordem. Ou seja, se vem antes de na ordem crescente de , então vem antes de .

Resposta

Portanto, provamos que se é estritamente crescente, então a função inversa também é estritamente crescente.

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