A taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar
e resfriando a substância de
para
em 15 minutos, aplique a lei do resfriamento de Newton para achar o momento que a temperatura será
.
Tabela:
Tabela:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma substância esfria em uma corrente de ar. A matéria que vamos usar é a Lei do Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a taxa de resfriamento depende da diferença entre a temperatura da substância e a do ambiente. Vamos precisar usar essa lei e algumas propriedades de logaritmos para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a mudança na temperatura da substância ao longo do tempo é proporcional à diferença entre a temperatura da substância (
) e a temperatura do ambiente (
). A equação fica assim:
Aqui,
é uma constante positiva que depende das características da substância e do ambiente.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução geral:
Onde:
-
é a temperatura da substância no tempo . -
é a temperatura inicial da substância. -
é a temperatura do ambiente. -
é a constante de resfriamento. -
é o tempo.
Passo 4
Vamos aplicar os valores que temos no problema. Sabemos que:
- Temperatura do ar (
) = - Temperatura inicial (
) = - Temperatura após 15 minutos (
) =
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 70:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, vamos usar a mesma fórmula para encontrar o tempo (
) quando a temperatura será
. A equação fica:
Subtraindo 30 de ambos os lados:
Dividindo por 70:
Passo 7
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolando
:
Resposta
Portanto, a temperatura da substância chegará a
após aproximadamente 52 minutos.