A taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30 graus e resfriando a substância de 100 graus para 70 graus em 15 minutos, aplique a lei do resfriamento de Newton para achar o momento que a temperatura será 40 graus.
Tabela: ln 7 = 1,94, ln(4/7) = -0,559

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma substância esfria em uma corrente de ar. A matéria que vamos usar é a Lei do Resfriamento de Newton, que basicamente diz que a taxa de resfriamento depende da diferença entre a temperatura da substância e a do ambiente. Vamos precisar usar essa lei e algumas propriedades de logaritmos para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a mudança na temperatura da substância ao longo do tempo é proporcional à diferença entre a temperatura da substância ( T) e a temperatura do ambiente ( ). A equação fica assim:
Aqui, k é uma constante positiva que depende das características da substância e do ambiente.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis e integrando, obtemos a solução geral:
Onde:
  • T(t) é a temperatura da substância no tempo t.
  • é a temperatura inicial da substância.
  • é a temperatura do ambiente.
  • k é a constante de resfriamento.
  • t é o tempo.

Passo 4

Vamos aplicar os valores que temos no problema. Sabemos que:
  • Temperatura do ar ( ) = 30 graus
  • Temperatura inicial ( ) = 100 graus
  • Temperatura após 15 minutos ( ) = 70 graus
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 70:

Passo 5

Agora, vamos resolver para k. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolando k:

Passo 6

Agora que temos o valor de k, vamos usar a mesma fórmula para encontrar o tempo ( t) quando a temperatura será 40 graus. A equação fica:
Subtraindo 30 de ambos os lados:
Dividindo por 70:

Passo 7

Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Sabemos que , então:
Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolando t:

Resposta

Portanto, a temperatura da substância chegará a 40 graus após aproximadamente 52 minutos.

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