Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(b) g: Q -> Q, dada por g(x) = 5x + 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente descobrir se a função , definida por , é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora. Basicamente, uma função é:
  • Injetora (ou “um-para-um”) quando cada elemento do conjunto de chegada é mapeado por, no máximo, um elemento do conjunto de partida.
  • Sobrejetora (ou “sobre”) quando cada elemento do conjunto de chegada é mapeado por pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Vamos passo a passo analisar essas propriedades para a função .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Para isso, precisamos mostrar que se , então necessariamente .
Assumamos que :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 5:
Como chegamos a partindo de , isso prova que a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos mostrar que para todo , existe pelo menos um tal que .
Vamos resolver a equação para :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 5:
Como é um número racional ( ) e a divisão de dois números racionais também é racional (desde que o denominador não seja zero, o que não é o caso aqui), também será um número racional. Portanto, para todo , existe um tal que , o que prova que a função é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora e sobrejetora.

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