Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(b)
, dada por
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente descobrir se a função
, definida por
, é injetora e/ou sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora. Basicamente, uma função é:
- Injetora (ou “um-para-um”) quando cada elemento do conjunto de chegada é mapeado por, no máximo, um elemento do conjunto de partida.
- Sobrejetora (ou “sobre”) quando cada elemento do conjunto de chegada é mapeado por pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Vamos passo a passo analisar essas propriedades para a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Para isso, precisamos mostrar que se
, então necessariamente
.
Assumamos que
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 5:
Como chegamos a
partindo de
, isso prova que a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos mostrar que para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Vamos resolver a equação
para
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 5:
Como
é um número racional (
) e a divisão de dois números racionais também é racional (desde que o denominador não seja zero, o que não é o caso aqui),
também será um número racional. Portanto, para todo
, existe um
tal que
, o que prova que a função é sobrejetora.
Resposta
A função
é injetora e sobrejetora.