19 Seja A uma matriz 4 times 4 com polinômio mínimo A. Encontre a forma canônica racional para A, se Q é uma matriz sobre (i) R, (ii) C, (iii) .

Passo 1

Temos uma matriz A de dimensão 4times4 cujo polinômio mínimo é m(t)=(t^2+1)(t^2-3). Vamos achar a forma canônica racional de A em três corpos: Q, R e C. A ideia geral é fatorar m(t) em cada corpo, ver os fatores irreducíveis distintos e montar blocos companheiros (companion blocks) para cada fator.

Passo 2

Em Q, os fatores de m(t) são t^2+1 e t^2-3, ambos irreduzíveis sobre Q e distintos. Como o grau de m(t) é 4 (igual à dimensão de A) e não há fatores repetidos, o único invariant factor é m(t) inteiro. Assim a forma canônica racional é o bloco companheiro de m(t). Expandindo m(t)=(t^2+1)(t^2-3)=t^4-2t^2-3, o companion matrix é
C Q= 0 & 0 & 0 & 3 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0

Passo 3

Em R, fatoramos m(t) como (t^2+1)(t-raiz3)(t+raiz3). Aqui t^2+1 continua irreduzível e tpmraiz3 são lineares distintos. Cada fator irreduzível dá um bloco companheiro: um bloco 2times2 para t^2+1 e blocos 1times1 (os próprios valores) para t-raiz3 e t+raiz3. Logo a forma canônica real é matriz em blocos:
C R=diagl( underbrace0 & -11 & 0t^2+1,;[raiz3],;[-raiz3]r)

Passo 4

Em C, o polinômio m(t) se divide em fatores lineares (t-i)(t+i)(t-raiz3)(t+raiz3), todos distintos. Assim A é diagonalizável e a forma canônica (racional) é a matriz diagonal com essas raízes:
C C=diag(i, -i, raiz3, -raiz3)

Resposta

(i) Sobre Q: a forma canônica racional é o bloco companheiro de m(t)=t^4-2t^2-3, isto é
0 & 0 & 0 & 3 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0
(ii) Sobre R: bloco diagonal com o companion de t^2+1 e as raízes reais
diagl(0 & -11 & 0,;[raiz3],;[-raiz3]r)
(iii) Sobre C: completamente diagonal, pois todas as raízes são lineares e distintas,
diag(i,-i,raiz3,-raiz3)

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