19 Seja uma matriz com polinômio mínimo . Encontre a forma canônica racional para , se é uma matriz sobre (i) , (ii) , (iii) .
Passo 1
Temos uma matriz de dimensão cujo polinômio mínimo é . Vamos achar a forma canônica racional de em três corpos: , e . A ideia geral é fatorar em cada corpo, ver os fatores irreducíveis distintos e montar blocos companheiros (companion blocks) para cada fator.
Passo 2
Em , os fatores de são e , ambos irreduzíveis sobre e distintos. Como o grau de é 4 (igual à dimensão de ) e não há fatores repetidos, o único invariant factor é inteiro. Assim a forma canônica racional é o bloco companheiro de . Expandindo , o companion matrix é
Passo 3
Em R, fatoramos m(t) como (t^2+1)(t-raiz3)(t+raiz3). Aqui t^2+1 continua irreduzível e tpmraiz3 são lineares distintos. Cada fator irreduzível dá um bloco companheiro: um bloco 2times2 para t^2+1 e blocos 1times1 (os próprios valores) para t-raiz3 e t+raiz3. Logo a forma canônica real é matriz em blocos:
C R=diagl( underbrace0 & -11 & 0t^2+1,;[raiz3],;[-raiz3]r)
Passo 4
Em C, o polinômio m(t) se divide em fatores lineares (t-i)(t+i)(t-raiz3)(t+raiz3), todos distintos. Assim A é diagonalizável e a forma canônica (racional) é a matriz diagonal com essas raízes:
C C=diag(i, -i, raiz3, -raiz3)
Resposta
(i) Sobre Q: a forma canônica racional é o bloco companheiro de m(t)=t^4-2t^2-3, isto é