Encontre todas as possíveis formas canônicas racionais possíveis para:
matrizes 6 times 6, com polinômio mínimo m(t)=(t+1)^3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as possíveis formas canônicas racionais de matrizes 6×6 cujo polinômio mínimo seja m(t)=(t+1)^3. Vamos usar a teoria de fatores invariantes para montar a forma canônica racional.

Passo 2

Na forma canônica racional, cada matriz é conjugada a um bloco diagonal de matrizes companheiras dos fatores invariantes f1,dots,fk, onde vale f1mid f2midcdotsmid fk, o maior fator invariante fk é exatamente o polinômio mínimo, e a soma dos graus de todos os fi deve ser 6.

Passo 3

Como o polinômio mínimo é (t+1)^3, temos fk=(t+1)^3 e cada fator invariante é da forma fi=(t+1)^di com di>=1. Os expoentes devem satisfazer
d1<= d2<=cdots<= dk=3esumi=1^k di=6

Passo 4

Procuramos todas as sequências inteiras não decrescentes (d1,dots,dk) que somem 6 e terminem em 3. As únicas são:
(3,3), (1,2,3) e (1,1,1,3).

Passo 5

Cada uma dessas sequências determina uma forma canônica racional obtida como bloco diagonal das matrizes companheiras dos polinômios (t+1)^di.

Resposta

As formas canônicas racionais possíveis são:
diagl(C((t+1)^3),,C((t+1)^3)r)
diagl(C((t+1)),,C((t+1)^2),,C((t+1)^3)r)
diagl(C((t+1)),,C((t+1)),,C((t+1)),,C((t+1)^3)r)
onde C(p) denota a matriz companheira do polinômio p.

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