Encontre todas as possíveis formas canônicas racionais possíveis para:
matrizes
, com polinômio mínimo
.
matrizes
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as possíveis formas canônicas racionais de matrizes 6×6 cujo polinômio mínimo seja
. Vamos usar a teoria de fatores invariantes para montar a forma canônica racional.
Passo 2
Na forma canônica racional, cada matriz é conjugada a um bloco diagonal de matrizes companheiras dos fatores invariantes
, onde vale
, o maior fator invariante
é exatamente o polinômio mínimo, e a soma dos graus de todos os
deve ser 6.
Passo 3
Como o polinômio mínimo é
, temos
e cada fator invariante é da forma
com
. Os expoentes devem satisfazer
Passo 4
Procuramos todas as sequências inteiras não decrescentes
que somem 6 e terminem em 3. As únicas são:
(3,3), (1,2,3) e (1,1,1,3).
(3,3), (1,2,3) e (1,1,1,3).
Passo 5
Cada uma dessas sequências determina uma forma canônica racional obtida como bloco diagonal das matrizes companheiras dos polinômios
.
Resposta
As formas canônicas racionais possíveis são:
onde
denota a matriz companheira do polinômio
.