Encontre todas as possíveis formas canônicas racionais possíveis para:
matrizes
, com polinômio mínimo
.
matrizes
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas racionais (forma de Frobenius) de uma matriz 8×8 cujo polinômio mínimo é
. Isso envolve usar a teoria de fatores invariantes e blocos companheiros.
Passo 2
Na forma canônica racional, escrevemos a matriz em blocos companheiros correspondentes aos fatores invariantes
tais que
e a soma dos graus de todos os
Passo 3
Como
, a soma dos graus dos fatores invariantes “anteriores” deve ser
. Então as possibilidades de dividir 2 são:
- um único fator de grau 2,
- dois fatores de grau 1 cada.
Passo 4
Caso 1: há um único fator de grau 2, digamos
, que deve dividir
. Os divisores monicos de grau 2 de
são
e
.
Em cada um desses subcasos, o segundo fator invariante é .
Em cada um desses subcasos, o segundo fator invariante é
Passo 5
Caso 2: dois fatores invariantes de grau 1 cada: o único divisor de grau 1 de
é
. Logo
.
Passo 6
Portanto, as três formas canônicas racionais possíveis são os blocos companheiros diagonais correspondentes a esses fatores invariantes.
Passo 7
Em cada caso, a forma canônica racional é a matriz em blocos
onde
Resposta
As três possibilidades de formas canônicas racionais são:
-
f_1(t)=t^2+2, f_2(t)=(t2+2)2(t+3)^2,
FCR = diag\bigl(C_{t2+2},,C_{(t2+2)2(t+3)2}\bigr). -
f_1(t)=(t+3)^2, f_2(t)=(t2+2)2(t+3)^2,
FCR = diag\bigl(C_{(t+3)2},,C_{(t2+2)2(t+3)2}\bigr). -
f_1(t)=t+3, f_2(t)=t+3, f_3(t)=(t2+2)2(t+3)^2,
FCR = diag\bigl(C_{t+3},,C_{t+3},,C_{(t2+2)2(t+3)^2}\bigr).