Encontre todas as possíveis formas canônicas racionais possíveis para:
matrizes 8 times 8, com polinômio mínimo .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas racionais (forma de Frobenius) de uma matriz 8×8 cujo polinômio mínimo é m(t)=(t^2+2)^2(t+3)^2. Isso envolve usar a teoria de fatores invariantes e blocos companheiros.

Passo 2

Na forma canônica racional, escrevemos a matriz em blocos companheiros correspondentes aos fatores invariantes f1,dots,fs tais que
f1mid f2midcdotsmid fs=m(t)
e a soma dos graus de todos os fi é 8 (a dimensão da matriz). Além disso, fs=m(t) e deg m=6.

Passo 3

Como deg fs=6, a soma dos graus dos fatores invariantes “anteriores” deve ser 8-6=2. Então as possibilidades de dividir 2 são:
  1. um único fator de grau 2,
  2. dois fatores de grau 1 cada.

Passo 4

Caso 1: há um único fator de grau 2, digamos f1, que deve dividir m(t). Os divisores monicos de grau 2 de m(t) são
t^2+2 e (t+3)^2.
Em cada um desses subcasos, o segundo fator invariante é f2=m(t).

Passo 5

Caso 2: dois fatores invariantes de grau 1 cada: o único divisor de grau 1 de m(t) é t+3. Logo
f1=t+3, f2=t+3, f3=m(t).

Passo 6

Portanto, as três formas canônicas racionais possíveis são os blocos companheiros diagonais correspondentes a esses fatores invariantes.

Passo 7

Em cada caso, a forma canônica racional é a matriz em blocos
diagl(Cf1,,Cf2,dots,Cfsr),
onde Cg é o companheiro do polinômio g.

Resposta

As três possibilidades de formas canônicas racionais são:
  1. f_1(t)=t^2+2, f_2(t)=(t2+2)2(t+3)^2,
    FCR = diag\bigl(C_{t2+2},,C_{(t2+2)2(t+3)2}\bigr).
  2. f_1(t)=(t+3)^2, f_2(t)=(t2+2)2(t+3)^2,
    FCR = diag\bigl(C_{(t+3)2},,C_{(t2+2)2(t+3)2}\bigr).
  3. f_1(t)=t+3, f_2(t)=t+3, f_3(t)=(t2+2)2(t+3)^2,
    FCR = diag\bigl(C_{t+3},,C_{t+3},,C_{(t2+2)2(t+3)^2}\bigr).

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