Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(e) [ll4 & 1 1 & 4]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
A = 4 & 1[6pt]1 & 4
Como A é simétrica, sabemos pela teoria que ela admite uma base ortonormal de autovetores e, portanto, existe matriz ortogonal P tal que
P^T A P = D
é diagonal. Para isso, vamos encontrar os autovalores de A, seus autovetores, ortonormalizá-los e montar P e D.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det4-lambda & 1[3pt]1 & 4-lambda = (4-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 8lambda + 15
As raízes desse polinômio são
lambda1 = 5, lambda2 = 3
]

Passo 3

Para , resolvemos
logo um autovetor é .
Para , resolvemos
logo um autovetor é .
]

Passo 4

Normalizamos v1 e v2 para obter uma base ortonormal:
u1 = 1raiz21[3pt]1, nu2 = 1raiz21[3pt]-1
Formamos então a matriz ortogonal P com essas colunas e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes:
P = nu1 & nu2 = 1raiz21 & 1[6pt]1 & -1, D = 5 & 0[6pt]0 & 3
]

Passo 5

Para confirmar, basta notar que P é ortogonal ( P^TP = I) e
P^T A P = D,
o que mostra que obtivemos a diagonalização ortogonal desejada.

Resposta

P = 1raiz21 & 1[6pt]1 & -1, D = 5 & 0[6pt]0 & 3,
com P^T A P = D.
]

Exercícios relacionados