Diagonalize ortogonalmente as matrizes abaixo
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
Como
A é simétrica, sabemos pela teoria que ela admite uma base ortonormal de autovetores e, portanto, existe matriz ortogonal
P tal que
é diagonal. Para isso, vamos encontrar os autovalores de
A , seus autovetores, ortonormalizá-los e montar
P e
D .]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
As raízes desse polinômio são
]
Passo 3
Para
, resolvemos
logo um autovetor é
.
Para
, resolvemos
logo um autovetor é
.
]
]
Passo 4
Normalizamos
v1 e
v2 para obter uma base ortonormal:
Formamos então a matriz ortogonal
P com essas colunas e a matriz diagonal
D com os autovalores correspondentes:
]
Passo 5
Para confirmar, basta notar que
P é ortogonal (
P^TP = I ) e
o que mostra que obtivemos a diagonalização ortogonal desejada.
Resposta
com
P^T A P = D .
]
]