Encontre condições sobre os termos independentes bi^prime s para que os sistemas lineares a seguir sejam possíveis: x-2 y-z & =b1, -4 x+5 y+2 z & =b2, -4 x+7 y+4 z & =b3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x - 2y - z = b1, -4x + 5y + 2z = b2, -4x + 7y + 4z = b3,
querendo saber para quais valores de b1,b2,b3 ele é possível (compatível). Como temos um sistema quadrado 3times3, vamos usar o critério do determinante da matriz de coeficientes: se det Aneq0, então o sistema é compatível determinado para quaisquer termos independentes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & -1 -4 & 5 & 2 -4 & 7 & 4
e aplicamos a fórmula do determinante por expansão:

Passo 3

Calculemos
det A =1cdot5 & 27 & 4 -(-2)cdot-4 & 2-4 & 4 +(-1)cdot-4 & 5-4 & 7
Agora,
5 & 27 & 4=5cdot4-2cdot7=20-14=6,
-4 & 2-4 & 4=(-4)cdot4-2cdot(-4)=-16+8=-8,
-4 & 5-4 & 7=(-4)cdot7-5cdot(-4)=-28+20=-8
Logo,
det A = 1cdot6 +2cdot(-8) -1cdot(-8) =6 -16 +8 = -2

Passo 4

Como det A = -2 neq 0, a matriz A é invertível. Isso implica que o sistema admite sempre uma solução única, independentemente dos valores de b1,b2,b3.

Resposta

O sistema é compatível (determinado) para todos os valores de b1,b2,b3. Não há nenhuma condição adicional sobre eles.

Exercícios relacionados