Para cada um dos subconjuntos B subset X abaixo, determine uma base S(X) e a dimensão do subespaço X gerado por E=R^4, n=4, u1=(0,1,2,3), u2=(-1,1,2,1), u3=(1,1,1,1), u4=(2,1,1,3) :

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá X = {u₁,u₂,u₃,u₄} em E = ℝ⁴ e pede uma base B ⊆ X para o subespaço gerado S(X) e sua dimensão; o conteúdo aqui é independência linear, base e dimensão, e vamos usar eliminação de Gauss.

Passo 2

Para descobrir quantos vetores de X são independentes e quais, monto uma matriz cujas linhas são u₁,…,u₄:
0 & 1 & 2 & 3 -1 & 1 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & 3
Agora aplico eliminação de Gauss até obter forma escalonada:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma escalonada vemos 3 linhas não nulas, logo o posto é 3 e exatamente 3 vetores de X são independentes. Essas linhas correspondem, via as trocas que fizemos, aos vetores u₃, u₁ e u₂. Por convenção, organizamos em B = {u₁,u₂,u₃}.
A dimensão de S(X) é o número de vetores nessa base, ou seja, 3.

Resposta

Uma possível base é B=u1,u2,u3 e a dimensão de S(X) é 3.

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