Para cada um dos subconjuntos abaixo, determine uma base e a dimensão do subespaço gerado por :
Passo 1
Beleza, o exercício nos dá X = {u₁,u₂,u₃,u₄} em E = ℝ⁴ e pede uma base B ⊆ X para o subespaço gerado S(X) e sua dimensão; o conteúdo aqui é independência linear, base e dimensão, e vamos usar eliminação de Gauss.
Passo 2
Para descobrir quantos vetores de X são independentes e quais, monto uma matriz cujas linhas são u₁,…,u₄:
Agora aplico eliminação de Gauss até obter forma escalonada:
Da forma escalonada vemos 3 linhas não nulas, logo o posto é 3 e exatamente 3 vetores de X são independentes. Essas linhas correspondem, via as trocas que fizemos, aos vetores u₃, u₁ e u₂. Por convenção, organizamos em B = {u₁,u₂,u₃}.
A dimensão de S(X) é o número de vetores nessa base, ou seja, 3.
Resposta
Uma possível base é B=u1,u2,u3 e a dimensão de S(X) é 3.