20 Mostre que a soma de dois operadores positivos (definidos positivos) é positiva (definida positiva).
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dados dois operadores positivos
e
em um espaço de Hilbert (ou espaço vetorial com produto interno), a soma
também é um operador positivo. Vamos usar a definição de operador positivo (forma quadrática não negativa) para resolver.
Passo 2
Pela definição,
é positivo se, para todo vetor
, vale
, e o mesmo vale para
. Então, para qualquer
, temos:
Passo 3
Passo 4
Isso mostra que
para todo
, logo
é positivo.