20 Mostre que a soma de dois operadores positivos (definidos positivos) é positiva (definida positiva).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados dois operadores positivos A e B em um espaço de Hilbert (ou espaço vetorial com produto interno), a soma A + B também é um operador positivo. Vamos usar a definição de operador positivo (forma quadrática não negativa) para resolver.

Passo 2

Pela definição, A é positivo se, para todo vetor x, vale lang<= Ax,xrang<= >= 0, e o mesmo vale para B. Então, para qualquer x, temos:

Passo 3

lang<= (A+B)x, xrang<= = lang<= Ax, xrang<= + lang<= Bx, xrang<= >= 0 + 0 = 0

Passo 4

Isso mostra que lang<= (A+B)x, xrang<= >= 0 para todo x, logo A + B é positivo.

Resposta

A + B é um operador positivo.

Exercícios relacionados