19-) Suponha que um astronauta é 10,00 anos mais velho que a filha. Depois de passar 5 (cinco) anos (no seu referencial) viajando pelo universo com velocidade constante, em uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 10,00 anos mais moço que a filha. (a) Determine o parâmetro de velocidade \beta da nave do astronauta em relação à Terra. (b) No trajeto de ida, o astronauta envia uma mensagem para a filha, através de uma onda eletromagnética com frequência de 100 MHz no referencial da nave. Para que frequência sua filha deve sintonizar um recpetor para captar essa mensagem.

Passo 1

O enunciado descreve um caso do paradoxo dos gémeos na relatividade restrita. Temos um astronauta que, no início, é 10{,}00 anos mais velho que a filha. Ele viaja de ida e volta com velocidade constante e, no referencial dele, se passam \tau=5 anos. Ao regressar, descobre que agora é 10{,}00 anos mais moço que a filha. Precisamos usar:
  1. Dilatação do tempo para relacionar o tempo próprio do astronauta \tau com o tempo de Terra \Delta t.
  2. Efeito Doppler relativístico para onda emitida por fonte em movimento.

Passo 2

Seja \Delta t o tempo decorrido no referencial da Terra (e da filha). O astronauta envelhece \tau=5 anos, e a filha envelhece \Delta t anos. Inicialmente a diferença de idade era
A_i - D_i = 10.
No regresso essa diferença passa a
A_f - D_f = (A_i + \tau) - (D_i + \Delta t) = 10 + 5 - \Delta t = 15 - \Delta t.
Mas sabemos que essa nova diferença vale -10, pois o astronauta fica 10 anos mais moço:
15 - \Delta t = -10 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t = 25\text{ anos}.

Passo 3

Pela dilatação do tempo temos
\Delta t = \gamma\,\tau \quad\Longrightarrow\quad \gamma = \frac{\Delta t}{\tau} = \frac{25}{5} = 5.
O parâmetro de velocidade é \beta = v/c, com
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \approx 0{,}9798.

Passo 4

No trajeto de ida a nave afasta-se da Terra com velocidade v=\beta c. O astronauta emite uma onda eletromagnética de frequência f'=100 MHz no referencial da nave. Para um observador na Terra, que vê a fonte a afastar-se, a frequência observada é dada pelo efeito Doppler relativístico recessivo:
f = f'\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Substituindo \beta=2\sqrt6/5,
\frac{1-\beta}{1+\beta} = \frac{5 - 2\sqrt6}{5 + 2\sqrt6} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} \approx 0{,}1010
e assim
f \approx 100\text{ MHz}\times 0{,}1010 = 10{,}1\text{ MHz}.

Resposta

(a) \beta = \dfrac{2\sqrt6}{5}\approx0{,}9798.
(b) A filha deve sintonizar cerca de 10{,}1 MHz.

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