19-) Suponha que um astronauta é 10,00 anos mais velho que a filha. Depois de passar 5 (cinco) anos (no seu referencial) viajando pelo universo com velocidade constante, em uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 10,00 anos mais moço que a filha. (a) Determine o parâmetro de velocidade
da nave do astronauta em relação à Terra. (b) No trajeto de ida, o astronauta envia uma mensagem para a filha, através de uma onda eletromagnética com frequência de 100 MHz no referencial da nave. Para que frequência sua filha deve sintonizar um recpetor para captar essa mensagem.
Passo 1
O enunciado descreve um caso do paradoxo dos gémeos na relatividade restrita. Temos um astronauta que, no início, é
anos mais velho que a filha. Ele viaja de ida e volta com velocidade constante e, no referencial dele, se passam
anos. Ao regressar, descobre que agora é
anos mais moço que a filha. Precisamos usar:
- Dilatação do tempo para relacionar o tempo próprio do astronauta
com o tempo de Terra . - Efeito Doppler relativístico para onda emitida por fonte em movimento.
Passo 2
Seja
o tempo decorrido no referencial da Terra (e da filha). O astronauta envelhece
anos, e a filha envelhece
anos. Inicialmente a diferença de idade era
No regresso essa diferença passa a
Mas sabemos que essa nova diferença vale
, pois o astronauta fica 10 anos mais moço:
Passo 3
Pela dilatação do tempo temos
O parâmetro de velocidade é
, com
Passo 4
No trajeto de ida a nave afasta-se da Terra com velocidade
. O astronauta emite uma onda eletromagnética de frequência
MHz no referencial da nave. Para um observador na Terra, que vê a fonte a afastar-se, a frequência observada é dada pelo efeito Doppler relativístico recessivo:
Substituindo
,
e assim
Resposta
(a)
.
(b) A filha deve sintonizar cerca de MHz.
(b) A filha deve sintonizar cerca de