3-19 The barometer of a mountain hiker reads 930 mbars at the beginning of a hiking trip and 780 mbars at the end. Neglecting the effect of altitude on local gravitational acceleration, determine the vertical distance climbed. Assume an average air density of 1.20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Answer: 1274 m

Passo 1

O enunciado dá as leituras do barômetro no início e no fim da caminhada e pede a distância vertical subida. Dados fornecidos:
  • Pressão inicial: p_{\text{inicial}} = 930\\ \mathrm{mbar}.
  • Pressão final: p_{\text{final}} = 780\\ \mathrm{mbar}.
  • Densidade média do ar: \rho = 1,20\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • É pedido: a distância vertical subida \Delta z.
    Observação do enunciado: negligenciar variação de g com a altitude (ou seja, tomar g aproximadamente constante).

Passo 2

Entendendo a física por trás (aula rápida e simples). Em atmosfera estática, a pressão varia com a altitude devido ao peso da coluna de ar acima. A relação diferencial básica é a equação hidrostática:
\frac{dp}{dz} = -\rho g,
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • z é a altitude (em \mathrm{m}),
  • \rho é a densidade do fluido (aqui o ar) (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • o sinal negativo indica que a pressão diminui quando z aumenta.
    Se \rho e g são aproximadamente constantes (hipótese do enunciado e da média dada), podemos integrar essa equação para relacionar uma variação finita de pressão com uma variação finita de altitude:
\Delta p = p_{\text{baixo}}-p_{\text{alto}} = \rho g\,\Delta z.
Aqui \Delta z = z_{\text{alto}}-z_{\text{baixo}} e \Delta p é a queda de pressão quando subimos.

Passo 3

Converter pressões de \mathrm{mbar} para \mathrm{Pa} (SI). Sabendo que 1\\ \mathrm{mbar} = 100\\ \mathrm{Pa}:
p_{\text{inicial}} = 930\\ \mathrm{mbar} = 930 \times 100\\ \mathrm{Pa} = 93000\\ \mathrm{Pa},
p_{\text{final}} = 780\\ \mathrm{mbar} = 780 \times 100\\ \mathrm{Pa} = 78000\\ \mathrm{Pa}.
A diferença de pressão (queda ao subir) é
\Delta p = p_{\text{inicial}} - p_{\text{final}} = 93000 - 78000 = 15000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Isolar \Delta z na fórmula integrada da hidrostática. A partir de
\Delta p = \rho g\,\Delta z,
temos
\Delta z = \frac{\Delta p}{\rho g}.
Explicando cada termo:
  • \Delta p é a diferença de pressão que calculamos (em \mathrm{Pa});
  • \rho é a densidade média do ar (em \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade. Vamos usar o valor padrão g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (o enunciado permite isso ao dizer para negligenciar variação de g).

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas). Temos:
\Delta p = 15000\\ \mathrm{Pa},\qquad \rho = 1,20\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Então
\Delta z = \frac{15000}{1,20 \times 9,81}\\ \mathrm{m}.
Calcule o denominador:
1,20 \times 9,81 = 11,772\\ (\mathrm{kg/(m^{2}\,s^{2})}) \quad\text{(as unidades dão }\mathrm{N/m^{3}}\text{ que divide \(\mathrm{Pa}\) para resultar em \(\mathrm{m}\))}.ã
Agora a divisão:
\Delta z = \frac{15000}{11,772}\\ \mathrm{m} \approx 1274\\ \mathrm{m}.
Observação sobre aritmética: 15000/11,772 pode ser feito por divisão longa ou calculadora; o resultado arredondado a três algarismos significativos é \approx 1274.

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade: uma queda de pressão de 15000\\ \mathrm{Pa} (de 930 para 780\\ \mathrm{mbar}) corresponder a cerca de 1,27\\ \mathrm{km} é razoável para a atmosfera próxima à superfície, dado que a pressão diminui aproximadamente 12 a 13\\ \mathrm{Pa} por metro multiplicado pela densidade típica — isto bate com o cálculo acima.

Resposta

1274\\ \mathrm{m}

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