Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função utilizada para modelar a produção era da forma
onde
é a produção total,
, a quantidade de trabalho e
, a quantidade de capital investido. Cobb e Douglas encontraram que os valores das constantes, usando método de mínimos quadrados, são
.
(a) Calcular o domínio da função de Cobb e Douglas.
(b) Calcular as derivadas parciais.
(c) Demonstre que a produção dobrará se as quantidades
e
forem dobradas.
(d) Determine se a afirmação anterior vale também para a função de produção genérica, i.e., para
e
arbitrários.
(a) Calcular o domínio da função de Cobb e Douglas.
(b) Calcular as derivadas parciais.
(c) Demonstre que a produção dobrará se as quantidades
(d) Determine se a afirmação anterior vale também para a função de produção genérica, i.e., para
Passo 1
O enunciado apresenta a função de produção de Cobb–Douglas
com constantes
e
. Vamos (i) determinar o domínio natural desta função, (ii) calcular as derivadas parciais
e
, (iii) verificar que dobrar
e
dobra
no caso dado, e (iv) estender essa propriedade ao caso genérico de
e
arbitrários.
Passo 2
Domínio de uma função com potências de base
e
: como usamos expoentes que podem ser não inteiros (por exemplo
), precisamos de
Logo o domínio é
Passo 3
Para calcular as derivadas parciais, lembramos que
.
Assim, mantendo fixo:
Assim, mantendo
E mantendo
fixo:
Passo 4
No caso específico
e
, verificamos
Portanto dobrar
e
faz a produção dobrar.
Passo 5
Para
e
arbitrários repetimos o cálculo:
Isso mostra que, em geral, a função é homogênea de grau 1 e sempre dobra quando dobramos
e
.
Resposta
(a) O domínio é
.
(b) ,
.
(c) No caso ,
, tem-se
.
(d) Para todo e
, também vale
.
(b)
(c) No caso
(d) Para todo