Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função utilizada para modelar a produção era da forma
P(L, K)=b L^{\alpha} K^{1-\alpha}
onde P é a produção total, L, a quantidade de trabalho e K, a quantidade de capital investido. Cobb e Douglas encontraram que os valores das constantes, usando método de mínimos quadrados, são b=1,01 \mathrm{e} \alpha=0,75.
(a) Calcular o domínio da função de Cobb e Douglas.
(b) Calcular as derivadas parciais.
(c) Demonstre que a produção dobrará se as quantidades L e K forem dobradas.
(d) Determine se a afirmação anterior vale também para a função de produção genérica, i.e., para b e \alpha arbitrários.

Passo 1

O enunciado apresenta a função de produção de Cobb–Douglas
P(L,K)=b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}
com constantes b=1,01 e \alpha=0,75. Vamos (i) determinar o domínio natural desta função, (ii) calcular as derivadas parciais \partial P/\partial L e \partial P/\partial K, (iii) verificar que dobrar L e K dobra P no caso dado, e (iv) estender essa propriedade ao caso genérico de b e \alpha arbitrários.

Passo 2

Domínio de uma função com potências de base L e K: como usamos expoentes que podem ser não inteiros (por exemplo \alpha=0,75), precisamos de
L>0 \quad\text{e}\quad K>0.
Logo o domínio é
\{(L,K)\mid L>0,\;K>0\}.

Passo 3

Para calcular as derivadas parciais, lembramos que \displaystyle \frac{d}{dx}x^{m}=m\,x^{m-1}.
Assim, mantendo K fixo:
\frac{\partial P}{\partial L} = b\,( \alpha\,L^{\alpha-1})\,K^{1-\alpha} = b\,\alpha\,L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}.
E mantendo L fixo:
\frac{\partial P}{\partial K} = b\,L^{\alpha}\,(1-\alpha)\,K^{-\alpha} = b\,(1-\alpha)\,L^{\alpha}K^{-\alpha}.

Passo 4

No caso específico b=1,01 e \alpha=0,75, verificamos
P(2L,2K) =1,01\,(2L)^{0,75}(2K)^{0,25} =1,01\;2^{0,75+0,25}\;L^{0,75}K^{0,25} =1,01\cdot2\;L^{0,75}K^{0,25} =2\,P(L,K).
Portanto dobrar L e K faz a produção dobrar.

Passo 5

Para b e \alpha arbitrários repetimos o cálculo:
P(2L,2K) = b\,(2L)^{\alpha}(2K)^{1-\alpha} = b\,2^{\alpha}2^{1-\alpha}L^{\alpha}K^{1-\alpha} =2\,b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha} =2\,P(L,K).
Isso mostra que, em geral, a função é homogênea de grau 1 e sempre dobra quando dobramos L e K.

Resposta

(a) O domínio é \{(L,K)\mid L>0,\;K>0\}.
(b) \displaystyle \frac{\partial P}{\partial L}=b\,\alpha\,L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}, \displaystyle \frac{\partial P}{\partial K}=b\,(1-\alpha)\,L^{\alpha}K^{-\alpha}.
(c) No caso b=1,01, \alpha=0,75, tem-se P(2L,2K)=2\,P(L,K).
(d) Para todo b e \alpha, também vale P(2L,2K)=2\,P(L,K).

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