Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
e verificar o Teorema de Clairaut, isto é, se
. Para isso vamos precisar da regra do quociente nas derivadas parciais e, em alguns casos, da regra do produto.
Passo 2
Calcular
mantendo
constante e aplicando a regra do quociente: se
e
, então
Passo 3
Calcular
mantendo
constante, com
e
:
Passo 4
Derivar
em relação a
. Aqui
é constante, logo
Passo 5
Derivar
em relação a
. Usando produto
,
:
,
.
Então
Então
Passo 6
Derivar
em relação a
, com
constante:
Passo 7
Derivar
em relação a
. Use produto
,
:
,
.
Logo
Logo
Passo 8
Comparando
vemos que
, conforme o Teorema de Clairaut.
Resposta
e o Teorema de Clairaut está verificado porque
.