Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x y}{x-y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\frac{x\,y}{\,x - y\,}
e verificar o Teorema de Clairaut, isto é, se \displaystyle f_{xy}=f_{yx}. Para isso vamos precisar da regra do quociente nas derivadas parciais e, em alguns casos, da regra do produto.

Passo 2

Calcular f_x mantendo y constante e aplicando a regra do quociente: se N=x\,y e D=x-y, então
f_x = \frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2} = \frac{y\,(x-y) - x\,y\cdot 1}{(x-y)^2} = \frac{yx - y^2 - x\,y}{(x-y)^2} = -\frac{y^2}{(x-y)^2}.

Passo 3

Calcular f_y mantendo x constante, com N_y = x e D_y = -1:
f_y = \frac{x\,(x-y) - x\,y\cdot(-1)}{(x-y)^2} = \frac{x^2 - x\,y + x\,y}{(x-y)^2} = \frac{x^2}{(x-y)^2}.

Passo 4

Derivar f_x = -y^2\,(x-y)^{-2} em relação a x. Aqui y é constante, logo
f_{xx} = -y^2 \cdot (-2)\,(x-y)^{-3}\cdot1 = \frac{2\,y^2}{(x-y)^3}.

Passo 5

Derivar f_x = -y^2\,(x-y)^{-2} em relação a y. Usando produto A=-y^2, B=(x-y)^{-2}: A_y=-2y, B_y = -2\,(x-y)^{-3}\cdot(-1)=2\,(x-y)^{-3}.
Então
f_{xy} = A_y\,B + A\,B_y = -2y\,(x-y)^{-2} \;+\;(-y^2)\,2\,(x-y)^{-3} = -\frac{2y}{(x-y)^2} - \frac{2y^2}{(x-y)^3} = -\frac{2xy}{(x-y)^3}.

Passo 6

Derivar f_y = x^2\,(x-y)^{-2} em relação a y, com x constante:
f_{yy} = x^2\cdot(-2)\,(x-y)^{-3}\cdot(-1) = \frac{2\,x^2}{(x-y)^3}.

Passo 7

Derivar f_y = x^2\,(x-y)^{-2} em relação a x. Use produto A=x^2, B=(x-y)^{-2}: A_x=2x, B_x=-2\,(x-y)^{-3}.
Logo
f_{yx} = A_x\,B + A\,B_x = 2x\,(x-y)^{-2} \;+\; x^2\,(-2)\,(x-y)^{-3} = \frac{2x}{(x-y)^2} - \frac{2x^2}{(x-y)^3} = -\frac{2xy}{(x-y)^3}.

Passo 8

Comparando
f_{xy} = -\frac{2xy}{(x-y)^3}, \quad f_{yx} = -\frac{2xy}{(x-y)^3},
vemos que f_{xy}=f_{yx}, conforme o Teorema de Clairaut.

Resposta

f_{xx} = \frac{2\,y^2}{(x-y)^3}, \quad f_{xy} = f_{yx} = -\frac{2\,x\,y}{(x-y)^3}, \quad f_{yy} = \frac{2\,x^2}{(x-y)^3},
e o Teorema de Clairaut está verificado porque f_{xy}=f_{yx}.

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