A temperatura aparente do ar, I é uma função que depende da temperatura real T e da umidade relativa h, de modo que podemos escrever I=f(T, h). A tabela seguinte com da os valores de I para alguns valores de T e h.
Tabela 1
h
T
20 30 40 50 60 70
20 20 20 20 21 22 23
25 25 25 26 28 30 32
30 30 31 34 36 38 41
35 36 39 42 45 48 51
40 43 47 51 55 59 63
Calcule:
(a) Qual é o valor de f(35,60) ? Qual é o seu significado?
(b) Para que valores de h temos f(30, h)=36
(c) Para que valores de T temos f(T, 40)=42
(d) Qual é o significado de I=f(20, h) e I=f(40, h) ?
(e) Como calcularia aproximadamente D_{x} f(40,30) e D_{y}(40,30). Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis I=f(T,h) cujos valores estão organizados na Tabela 1 em que as linhas correspondem a diferentes temperaturas reais T (em °C) e as colunas a diferentes humidades relativas h (em %). Vamos:
  • Ler diretamente valores da tabela para responder às partes (a), (b) e (c).
  • Interpretar o significado físico em (d).
  • Aproximar derivadas parciais em (e) usando diferenças finitas.

Passo 2

Para (a) basta buscar na Tabela 1 a linha T=35 e a coluna h=60. O valor ali registrado é I=48. Isso significa que, com temperatura real de 35{}^\circC e umidade relativa de 60\%, a temperatura aparente sentida é 48{}^\circC.

Passo 3

Para (b) queremos f(30,h)=36. Na linha T=30 da tabela, o valor 36 ocorre na coluna h=50. Logo, f(30,h)=36 exatamente para h=50\%.

Passo 4

Para (c) queremos f(T,40)=42. Na coluna h=40, o valor 42 ocorre na linha T=35. Portanto, f(T,40)=42 exatamente para T=35{}^\circC.

Passo 5

Em (d), I=f(20,h) é a função que dá a temperatura aparente quando a temperatura real está fixa em 20{}^\circC e varia-se a umidade h. De modo análogo, I=f(40,h) descreve como muda a temperatura aparente para T=40{}^\circC conforme varia a umidade.

Passo 6

Para (e), as derivadas parciais em (40,30) podem ser aproximadas por diferenças finitas na tabela. Como não há valores em T=45, usamos diferença para trás em T:
D_xf(40,30)\approx\frac{f(40,30)-f(35,30)}{40-35} =\frac{47-39}{5}=1,6\;(\degree\mathrm{C}\,\text{por grau Celsius}).
E para h fazemos diferença centrada com h=30 e h=40:
D_yf(40,30)\approx\frac{f(40,40)-f(40,30)}{40-30} =\frac{51-47}{10}=0,4\;(\degree\mathrm{C}\,\text{por ponto de umidade}).

Resposta

(a) f(35,60)=48. Significa que a temperatura aparente é 48{}^\circC quando T=35{}^\circC e h=60\%.
(b) f(30,h)=36 só para h=50\%.
(c) f(T,40)=42 só para T=35{}^\circC.
(d) I=f(20,h) é a temperatura aparente em função da umidade quando T=20{}^\circC, e I=f(40,h) idem para T=40{}^\circC.
(e)
D_xf(40,30)\approx\frac{47-39}{5}=1,6,\quad D_yf(40,30)\approx\frac{51-47}{10}=0,4.

Exercícios relacionados