Para cada valor de \varepsilon determine o valor de \delta que satisfaça a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow 1}-\frac{2}{x^{2}}=-2 e \varepsilon=0,001

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que
\lim_{x\to1}-\frac{2}{x^2}=-2
pela definição “para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, tem-se \bigl|-\tfrac{2}{x^2}-(-2)\bigr|<\varepsilon”. Aqui nos deram \varepsilon=0{,}001 e precisamos encontrar um \delta correspondente.

Passo 2

Começamos calculando a diferença em módulo:
\bigl|-\tfrac{2}{x^2}-(-2)\bigr| =\Bigl|2 - \frac{2}{x^2}\Bigr| =2\Bigl|1-\frac1{x^2}\Bigr| =2\frac{|x^2-1|}{|x^2|}.
Escrevendo x^2-1=(x-1)(x+1), obtemos
\bigl|-\tfrac{2}{x^2}-(-2)\bigr| =2\,\frac{|x-1|\,|x+1|}{|x|^2}.

Passo 3

Para controlar o fator \tfrac{|x+1|}{|x|^2}, restringimos x para perto de 1, por exemplo exigindo |x-1|<\tfrac12. Então
0.5<x<1.5 \quad\Longrightarrow\quad |x+1|\le1.5+1=2.5, \quad |x|^2\ge(0.5)^2=0.25.
Logo
\bigl|-\tfrac{2}{x^2}-(-2)\bigr| \le 2\,\frac{|x-1|\cdot2.5}{0.25} =20\,|x-1|.

Passo 4

Queremos que esta quantidade seja menor que \varepsilon=0{,}001. Basta garantir
20\,|x-1|<0{,}001 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<\frac{0{,}001}{20}=0{,}00005.
Para satisfazer também a condição |x-1|<\tfrac12, escolhemos
\delta=\min\Bigl(\tfrac12,\;0{,}00005\Bigr)=0{,}00005.

Resposta

Uma escolha válida é \displaystyle \delta=0{,}00005.

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