Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P=0,1+log 2(x-1996), na qual P é a população do ano x, em milhares de habitantes. Considerando raiz2 approx 1,4 podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca de 3600 habitantes em meados de que ano?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve o crescimento da população de uma cidade ao longo dos anos. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas, que são usadas para modelar crescimentos que não são lineares. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e resolver uma equação para descobrir em que ano a população atingiu 3.600 habitantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a população:
P = 0,1 + log2(x - 1996)
Aqui, P é a população em milhares de habitantes e x é o ano. Queremos encontrar o ano x quando P = 3,6 (já que 3,6 mil habitantes correspondem a 3.600 habitantes).

Passo 3

Vamos substituir P por 3,6 na função:
3,6 = 0,1 + log2(x - 1996)
Nosso objetivo é isolar log2(x - 1996) .

Passo 4

Subtraímos 0,1 de ambos os lados da equação:
3,6 - 0,1 = log2(x - 1996)
3,5 = log2(x - 1996)

Passo 5

Agora, para eliminar o logaritmo, vamos reescrever a equação na forma exponencial. Sabemos que se:
logb(a) = c então b^c = a ã
Aplicando isso aqui:
2^3,5 = x - 1996

Passo 6

Precisamos calcular 2^3,5 . Sabemos que:
2^3,5 = 2^3 times 2^0,5 = 8 times raiz2
E foi dado que raiz2 approx 1,4 . Então:
2^3,5 approx 8 times 1,4 = 11,2

Passo 7

Agora, substituímos esse valor de volta na equação:
11,2 = x - 1996
Para encontrar x , somamos 1996 aos dois lados:
x = 1996 + 11,2 = 2007,2

Resposta

A população da cidade atingiu 3.600 habitantes em meados do ano de 2007.

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