Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função
, na qual
é a população do ano
, em milhares de habitantes. Considerando
podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca de 3600 habitantes em meados de que ano?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve o crescimento da população de uma cidade ao longo dos anos. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas, que são usadas para modelar crescimentos que não são lineares. Vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e resolver uma equação para descobrir em que ano a população atingiu 3.600 habitantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a população:
Aqui,
é a população em milhares de habitantes e
é o ano. Queremos encontrar o ano
quando
(já que 3,6 mil habitantes correspondem a 3.600 habitantes).
Passo 3
Vamos substituir
por 3,6 na função:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 4
Subtraímos 0,1 de ambos os lados da equação:
Passo 5
Agora, para eliminar o logaritmo, vamos reescrever a equação na forma exponencial. Sabemos que se:
Aplicando isso aqui:
Passo 6
Precisamos calcular
. Sabemos que:
E foi dado que
. Então:
Passo 7
Agora, substituímos esse valor de volta na equação:
Para encontrar
, somamos 1996 aos dois lados:
Resposta
A população da cidade atingiu 3.600 habitantes em meados do ano de 2007.