Encontre o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=raiz2 x+3x^2+9

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função:
f(x) = raiz2x + 3x^2 + 9
Aqui, estamos trabalhando com funções racionais e raízes quadradas. O que vamos precisar entender é quais valores de x tornam essa função válida (domínio) e como ela se comporta para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
  1. O que está dentro da raiz quadrada, 2x + 3 , não pode ser negativo, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
  2. O denominador, x^2 + 9 , não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.

Passo 3

Vamos tratar a primeira condição:
2x + 3 >= 0
Resolvendo essa desigualdade:
2x >= -3 x >= -32
Então, para a raiz quadrada ser válida, x deve ser maior ou igual a -32 .

Passo 4

Agora, a segunda condição:
x^2 + 9 neq 0
Observamos que x^2 é sempre não negativo, e somando com 9, o resultado nunca será zero. Ou seja, não há valores de x que tornem o denominador zero.

Passo 5

Combinando as duas condições:
  • A única restrição vem da raiz quadrada: x >= -32
  • Não há restrições adicionais porque o denominador nunca é zero.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a -32 .

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos analisar alguns pontos importantes:
  1. Interseção com o eixo y : quando x = 0 ,
f(0) = raiz2(0) + 30^2 + 9 = raiz39 = raiz39
  1. Comportamento para x grande positivo e negativo:
    • Conforme x aumenta, x^2 domina no denominador, fazendo f(x) aproximar-se de zero.
    • Conforme x se aproxima de -32 pelo lado maior, o numerador se aproxima de zero, então f(x) também se aproxima de zero.
  2. Não há assíntotas verticais porque o denominador nunca é zero.
  3. Assíntota horizontal: já que conforme x tende ao infinito, f(x) tende a zero, temos a assíntota horizontal y = 0 .

Passo 7

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O gráfico começa em x = -32 com f(x) = 0 .
  • Passa pelo ponto (0, raiz39) .
  • Se aproxima do eixo x conforme x aumenta ou se aproxima de -32 .
O gráfico terá uma curva suave que está sempre acima do eixo x , nunca tocando ou cruzando, e se aproximando do eixo x nos extremos.

Resposta

Domínio: x >= -32
Esboço do gráfico: A função está definida para todos os x maiores ou iguais a -32 . O gráfico inicia em (-32, 0) , passa pelo ponto (0, raiz39) e se aproxima do eixo x conforme x aumenta, sem cruzá-lo, apresentando uma curva suave acima do eixo x .

Exercícios relacionados