Encontre o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função:
Aqui, estamos trabalhando com funções racionais e raízes quadradas. O que vamos precisar entender é quais valores de
tornam essa função válida (domínio) e como ela se comporta para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
- O que está dentro da raiz quadrada,
, não pode ser negativo, porque a raiz de um número negativo não é um número real. - O denominador,
, não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.
Passo 3
Vamos tratar a primeira condição:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, para a raiz quadrada ser válida,
deve ser maior ou igual a
.
Passo 4
Agora, a segunda condição:
Observamos que
é sempre não negativo, e somando com 9, o resultado nunca será zero. Ou seja, não há valores de
que tornem o denominador zero.
Passo 5
Combinando as duas condições:
- A única restrição vem da raiz quadrada:
- Não há restrições adicionais porque o denominador nunca é zero.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a
.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos analisar alguns pontos importantes:
- Interseção com o eixo
: quando ,
-
Comportamento para
grande positivo e negativo: - Conforme
aumenta, domina no denominador, fazendo aproximar-se de zero. - Conforme
se aproxima de pelo lado maior, o numerador se aproxima de zero, então também se aproxima de zero.
- Conforme
-
Não há assíntotas verticais porque o denominador nunca é zero.
-
Assíntota horizontal: já que conforme
tende ao infinito, tende a zero, temos a assíntota horizontal .
Passo 7
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico começa em
com . - Passa pelo ponto
. - Se aproxima do eixo
conforme aumenta ou se aproxima de .
O gráfico terá uma curva suave que está sempre acima do eixo
, nunca tocando ou cruzando, e se aproximando do eixo
nos extremos.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: A função está definida para todos os
maiores ou iguais a
. O gráfico inicia em
, passa pelo ponto
e se aproxima do eixo
conforme
aumenta, sem cruzá-lo, apresentando uma curva suave acima do eixo
.