Considere os vetores de M2(R) dados a seguir:
v1=(ll1 & 2 0 & 0), v2=(rr2 & x -1 & 0), v3=(rr-1 & -2 y & 2), v4=(cc2 & 4 2 y & z) e v5=(ll1 & 3 2 & 4)
Determine, se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro.
a) v1, v4 é L.I.
b) v1, v2 é L.I
c) v1, v2, v4 é L.D.
d) v1, v2, v3 é L.I.
e) v1, v2, v3, v4 é L.D f) v1, v2, v3, v4, v5 é L.I.

Passo 1

Temos cinco matrizes em , que podemos ver como vetores em usando a ordenação . Assim
Queremos escolher para que certos subconjuntos sejam linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). Usaremos a definição de L.I. em : um conjunto é L.I. se a combinação linear nula só admite coeficientes todos zero. Para quatro vetores em podemos também usar determinante.

Passo 2

Item (a): v1,v4 é L.I. se não houver lambda tal que v4=lambda v1. Da primeira e segunda coordenadas vem lambda=2, mas então a terceira exige 2y=0 e a quarta z=0. Logo v4=2v1 apenas quando y=0 e z=0. Portanto
v1,v4 é L.I. sempre que ,(y,z)neq(0,0).

Passo 3

Item (b): v1,v2 é L.I. se não existir lambda com v2=lambda v1. Da primeira coordenada lambda=2 e da terceira viriam -1=0, o que é impossível. Então não há lambda que os relacione e o conjunto é sempre L.I., independente de x.

Passo 4

Item (c): v1,v2,v4 é L.D. se v4inspanv1,v2. Então existe a,b tais que
a(1,2,0,0)+b(2,x,-1,0)=(2,4,2y,z)
Das coordenadas obtém-se a+2b=2, 2a+bx=4, -b=2y e 0=z. Destas segue z=0 e b=-2y. Substituindo nas duas primeiras dá y(x-4)=0. Concluímos
v1,v2,v4 é L.D. exatamente quando
z=0e y(x-4)=0,
ou seja z=0 e l(y=0 ou x=4r).

Passo 5

Item (d): v1,v2,v3 é L.I. se a única solução de
a,v1+b,v2+c,v3=0
for a=b=c=0. Das quatro coordenadas a última dá 2c=0implies c=0, depois -b=0implies b=0 e por fim a=0. Não aparece condição sobre x,y. Logo este conjunto é L.I. para todos os valores de x,y.

Passo 6

Item (e): v1,v2,v3,v4 em R^4 tem determinante (formando matriz 4times4 com as colunas iguais aos vetores)
det= yl(xz-4x-4z+16r) =y,(x-4),(z-4)
Assim o conjunto é L.D. se e somente se det=0, ou seja
y=0ou (x-4)(z-4)=0

Passo 7

Item (f): Em R^4 qualquer conjunto com 5 vetores é necessariamente L.D. portanto não existe escolha de x,y,z que torne v1,v2,v3,v4,v5 L.I.

Resposta

a) v1,v4 é L.I. se (y,z)neq(0,0).
b) v1,v2 é sempre L.I., para todo x.
c) v1,v2,v4 é L.D. se e só se z=0 e y(x-4)=0.
d) v1,v2,v3 é sempre L.I., para todo x,y.
e) v1,v2,v3,v4 é L.D. se e só se y=0 ou (x-4)(z-4)=0.
f) v1,v2,v3,v4,v5 é sempre L.D. (não há solução para ser L.I.).

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