6-19C A horizontal water jet of constant velocity V from a stationary nozzle impinges normally on a vertical flat plate that is held in a nearly frictionless track. As the water jet hits the plate, it begins to move due to the water force. What is the highest velocity the plate can attain? Explain.

Passo 1

O enunciado fornece um jato de água de velocidade constante V que sai de um bocal estacionário e incide perpendicularmente numa placa vertical apoiada num trilho sem atrito. O jato faz a placa se mover, e queremos saber qual é a maior velocidade que essa placa pode atingir. O conteúdo usado será análise de fluxo de massa e quantidade de movimento (teorema de Euler/Newton para sistemas de massa variável).

Passo 2

Como o bocal é fixo e despeja água à velocidade V em relação ao solo, a vazão volumétrica é constante:
Q = A V,
onde A é a área da seção do jato. Logo, a vazão mássica é
\dot m = \rho\,Q = \rho\,A\,V.

Passo 3

Suponha que num instante qualquer a placa mova-se para a direita com velocidade u (em relação ao solo).
Em relação à placa, a água chega com velocidade relativa
V_{\text{rel,in}} = V - u.
Após o impacto, a água “gruda” na placa e passa a mover-se com ela, saindo com velocidade relativa zero, ou seja, com velocidade u em relação ao solo.

Passo 4

Aplicando o teorema da quantidade de movimento: a força horizontal que o jato exerce sobre a placa é igual ao fluxo de quantidade de movimento transferido por unidade de tempo,
F = \dot m\,(V_{\text{in}} - V_{\text{out}}) = \rho\,A\,V\,(V - u)\,.
Essa força acelera a placa segundo F = m_{\text{placa}}\;a, mas note que, à medida que u aumenta, o termo (V - u) diminui, fazendo F cair.

Passo 5

No regime em que a placa atinge sua velocidade máxima, a aceleração cai a zero e, portanto, a força resultante sobre ela é nula:
F = \rho\,A\,V\,(V - u_{\max}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad V - u_{\max} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_{\max} = V.

Resposta

A maior velocidade que a placa pode atingir é igual à velocidade do jato, ou seja, u_{\max} = V. Isso ocorre porque, quando a placa alcança V, a água não tem mais velocidade relativa para transmitir momento e a força de empuxo cai a zero.

Exercícios relacionados