6-19C A horizontal water jet of constant velocity
from a stationary nozzle impinges normally on a vertical flat plate that is held in a nearly frictionless track. As the water jet hits the plate, it begins to move due to the water force. What is the highest velocity the plate can attain? Explain.
Passo 1
O enunciado fornece um jato de água de velocidade constante
que sai de um bocal estacionário e incide perpendicularmente numa placa vertical apoiada num trilho sem atrito. O jato faz a placa se mover, e queremos saber qual é a maior velocidade que essa placa pode atingir. O conteúdo usado será análise de fluxo de massa e quantidade de movimento (teorema de Euler/Newton para sistemas de massa variável).
Passo 2
Como o bocal é fixo e despeja água à velocidade
em relação ao solo, a vazão volumétrica é constante:
onde
é a área da seção do jato. Logo, a vazão mássica é
Passo 3
Suponha que num instante qualquer a placa mova-se para a direita com velocidade
(em relação ao solo).
Em relação à placa, a água chega com velocidade relativa
Em relação à placa, a água chega com velocidade relativa
Após o impacto, a água “gruda” na placa e passa a mover-se com ela, saindo com velocidade relativa zero, ou seja, com velocidade
em relação ao solo.
Passo 4
Aplicando o teorema da quantidade de movimento: a força horizontal que o jato exerce sobre a placa é igual ao fluxo de quantidade de movimento transferido por unidade de tempo,
Essa força acelera a placa segundo
, mas note que, à medida que
aumenta, o termo
diminui, fazendo
cair.
Passo 5
No regime em que a placa atinge sua velocidade máxima, a aceleração cai a zero e, portanto, a força resultante sobre ela é nula:
Resposta
A maior velocidade que a placa pode atingir é igual à velocidade do jato, ou seja,
. Isso ocorre porque, quando a placa alcança
, a água não tem mais velocidade relativa para transmitir momento e a força de empuxo cai a zero.