6-22 A 90^{\circ} elbow is used to direct water flow at a rate of 25 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} in a horizontal pipe upward. The diameter of the entire elbow is 10 cm . The elbow discharges water into the atmosphere, and thus the pressure at the exit is the local atmospheric pressure. The elevation difference between the centers of the exit and the inlet of the elbow is 35 cm . The weight of the elbow and the water in it is considered to be
Determine (a) the gage pressure at the center of the inlet of the elbow and ( (b) ) the anchoring force needed to hold the elbow in place. Take the momentum-flux correction factor to be 1.03 .

Passo 1

O enunciado descreve um cotovelo de 90^\circ que faz a água de massa \dot m = 25\\ \mathrm{kg/s} passar de um trecho horizontal para outro vertical, ambos de diâmetro D = 0{,}10\\ \mathrm m. A pressão de saída é atmosférica ( p_2=0 gage), a diferença de cota entre centros é \Delta z=0{,}35\\ \mathrm m, e o fator de correção do fluxo de momento é \alpha=1{,}03. Desprezamos o peso do cotovelo e da água nele contida. Vamos usar:
– Continuidade para achar a velocidade
– Equação de Bernoulli (correção cinética igual nos dois ramos) para p_1
– Equação integral de momento para o esforço de ancoragem

Passo 2

Área da seção e velocidade média:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,10)^2}{4}=7{,}853\times10^{-3}\\ \mathrm m^2,
v = \frac{\dot m}{\rho\,A} = \frac{25}{1000\cdot7{,}853\times10^{-3}} =3{,}183\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre eixo de entrada (nível z_1=0) e de saída ( z_2=0{,}35 m), sem perdas e com mesma correção cinética ( \alpha v^2/2g cancela):
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{\alpha\,v^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{\alpha\,v^2}{2g} + z_2,
como p_2=0 (gage) e z_1=0,
\frac{p_1}{\rho g} = z_2 =0{,}35\\ \mathrm m \quad\Longrightarrow\quad p_1 = \rho\,g\,0{,}35 =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}35 =3433{,}5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Para o esforço sobre o cotovelo usamos o balanço de momento no volume de controle fluido (seções de entrada e saída + parede interna), desprezando peso e atrito:
\sum \mathbf F_{\rm ext} = \alpha\,\dot m\,(\mathbf v_{\rm out}-\mathbf v_{\rm in}).
As únicas forças externas ao fluido são as pressões nas seções:
– Entrada: p_1\,A atuando no sentido -\mathbf i.
– Saída: p_2=0.
Chamando \mathbf F_w a força que o fluido exerce na parede (e que o suporte deve equilibrar),
(-p_1A\,\mathbf i) + \mathbf F_w = \alpha\,\dot m\bigl((0\,\mathbf i+v\,\mathbf j)- (v\,\mathbf i+0\,\mathbf j)\bigr).
Logo
\mathbf F_w = \alpha\,\dot m\,(-v\,\mathbf i + v\,\mathbf j) + p_1A\,\mathbf i.
Substituindo números:
\alpha\,\dot m\,v =1{,}03\cdot25\cdot3{,}183 =81{,}96\\ \mathrm N, \quad p_1A =3433{,}5\cdot7{,}853\times10^{-3}=26{,}97\\ \mathrm N.
\mathbf F_w = \bigl(-81{,}96 +26{,}97\bigr)\mathbf i \;+\;81{,}96\,\mathbf j = -54{,}99\,\mathbf i\;+\;81{,}96\,\mathbf j\quad(\mathrm N).

Passo 5

Como \mathbf F_w é a força do fluido na parede, a força que o suporte (âncora) deve aplicar no cotovelo é \mathbf F_{\rm ancor}=-\mathbf F_w:
\mathbf F_{\rm ancor} = +54{,}99\,\mathbf i \;-\;81{,}96\,\mathbf j\quad(\mathrm N).
Magnitude e direção:
|\mathbf F_{\rm ancor}| = \sqrt{54{,}99^2 + (-81{,}96)^2} =98{,}7\\ \mathrm N,
ângulo abaixo da horizontal
\theta = \tan^{-1}\bigl(\tfrac{81{,}96}{54{,}99}\bigr) =56{,}3^\circ.

Resposta

(a) p_1 =3{,}43\times10^3\\ \mathrm{Pa} (gage).
(b) Força de ancoragem =98{,}7\\ \mathrm N, com componentes \,F_x=+55{,}0\\ \mathrm N (sentido do fluxo de entrada) e \,F_y=-82{,}0\\ \mathrm N (para baixo).

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