6-24E A horizontal water jet impinges against a vertical flat plate at 30 \mathrm{ft} / \mathrm{s} and splashes off the sides in the vertical plane. If a horizontal force of 350 lbf is required to hold the plate against the water stream, determine the volume flow rate of the water.

Passo 1

O enunciado trata de um jato de água que incide horizontalmente numa placa vertical com velocidade de 30\\ \mathrm{ft/s} e se esparrama verticalmente, de modo que não há componente de velocidade na direção horizontal após o choque. Pede-se a vazão volumétrica Q que gera uma força de 350\\ \mathrm{lbf} na placa. O conteúdo necessário é o balanço de momento linear em regime permanente para um volume de controle envolvendo o jato.

Passo 2

Precisamos da densidade de massa da água em unidades consistentes (slug/f t^{3}). Sabendo que a densidade em libras-massa por pé cúbico é 62,4\\ \mathrm{lbm/ft^3} e que
1\\ \mathrm{slug} = 32{,}2\\ \mathrm{lbm},
temos
\rho_{\text{massa}} =\frac{62{,}4\\ \mathrm{lbm/ft^3}}{32{,}2\\ \mathrm{lbm/slug}} =1{,}937\\ \mathrm{slug/ft^3}.

Passo 3

Pelo princípio da quantidade de movimento na direção horizontal, a força horizontal necessária para deter o jato é igual ao fluxo de momento perdido dessa direção:
F = \dot m\,(V_{x,\,\text{in}} - V_{x,\,\text{out}}) = \dot m\,(30 - 0),
onde \dot m é a vazão mássica. E
\dot m = \rho_{\text{massa}}\,Q = (1{,}937)\,Q.
Logo,
F = 1{,}937\,Q \times 30.

Passo 4

Isolando Q na equação
350 = 1{,}937 \times 30 \times Q
obtém-se
Q = \frac{350}{1{,}937 \times 30} \approx 6{,}02\\ \mathrm{ft^3/s}.

Resposta

A vazão volumétrica é aproximadamente
6{,}02\\ \mathrm{ft^3/s}.

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