Questão 10 da Lista em PDF A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada pela expressão abaixo, onde “h” é a distância entre as placas. A origem é colocada na metade da distância entre elas. Considere o escoamento de água com velocidade máxima de 0,06 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e h =4 \mathrm{~mm}. Calcule a força cisalhante sobre uma seção de 0,8 \mathrm{~m}^{2} da placa inferior e forneça seu sentido.
\frac{u}{u_{\max }}=1-\left(\frac{2 y}{h}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado trata de escoamento laminar de água entre placas paralelas separadas por h. A distribuição de velocidade é
\frac{u}{u_{\max}} \;=\;1 - \Bigl(\frac{2y}{h}\Bigr)^{2},
com origem em y=0 no meio do canal. Pede-se a força de cisalhamento exercida pelo fluido sobre a placa inferior (área A=0,8\rm\;m^{2}) sabendo que u_{\max}=0,06\rm\;m/s, h=4\rm\;mm. Para isso, vamos usar a definição de tensão de cisalhamento \tau = \mu\,\frac{du}{dy}
e depois multiplicar por A.

Passo 2

Obtemos a derivada da velocidade em função de y. Como
u(y)=u_{\max}\Bigl[1-4\frac{y^{2}}{h^{2}}\Bigr],
temos
\frac{du}{dy} =\;u_{\max}\frac{d}{dy}\Bigl(1-4\frac{y^{2}}{h^{2}}\Bigr) =-\,u_{\max}\;8\frac{y}{h^{2}} =-8\,u_{\max}\,\frac{y}{h^{2}}.

Passo 3

Na placa inferior y=-\tfrac{h}{2}. Logo,
\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=-\tfrac{h}{2}} =-8\,u_{\max}\, \frac{-\tfrac{h}{2}}{h^{2}} =8\,u_{\max}\,\frac{1}{2h} =\frac{4\,u_{\max}}{h}.

Passo 4

Para água à temperatura ambiente, adota-se \mu=1{,}0\times10^{-3}\rm\;Pa\cdot s. Assim, a tensão de cisalhamento na parede vale
\tau_{w} =\mu\;\frac{du}{dy}\Big|_{y=-h/2} =1{,}0\times10^{-3}\,\cdot\frac{4\,(0,06)}{0,004} =1{,}0\times10^{-3}\,\cdot60 =0{,}06\;\rm Pa.

Passo 5

Multiplicando pela área A=0,8\rm\;m^{2} obtém-se a força:
F =\tau_{w}\,A =0{,}06\;\rm Pa\;\times0,8\;m^{2} =0{,}048\;\rm N.

Passo 6

O sentido da força de cisalhamento que o fluido exerce sobre a placa é oposto ao sentido do escoamento (isto é, atrito que retarda o fluido).

Resposta

F=0{,}048\;\mathrm{N}, sentido oposto ao escoamento.

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